■「１つがいのうさぎは産まれて２ヶ月後から毎月１つがいの子供を産むとする。初めの生まれたての１つがいがいるとき、１ヶ月後、２ヶ月後、…のうさぎのつがいの総数を求めよ。」…これは中世イタリアの傑出した数学者フィボナッチ（1170〜1250）が、自著『算術の書』の中で提起した問題である。
■フィボナッチはお人好しの息子という意味の通り名で、別名をレオナルド・ピサーノという。商人として計算法を学び、商用も兼ねて各地を旅行し、アラビア数字の知識などを得てヨーロッパに紹介した。この問題の答が、動物の増殖や植物の成長の形態など、自然界で随所に現れるフィボナッチ数列だ。
■この数列の構造は簡単で、初項と第２項を１とし、続く第３項以下はその直前にある２項の和を取って得られる。また初項２・第２項１で、続く第３項以下は前２項の和とした数列を特別にリュカ数列という。なお１項ずれるが、初項１・第２項２とすると前者に、初項１・第２項３とすると後者に準じる。
＜項数＞ １
２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13…
フイボナッチ数列
１ １ ２ ３ ５ ８ 13 21 34 55 89 144 233…
準フイボナッチ数列
１ ２ ３ ５ ８ 13 21 34 55 89 144 233 377…
リュカ数列
２ １ ３ ４ ７ 11 18 29 47 76 123 199 322…
準リュカ数列 １
３ ４ ７ 11 18 29 47 76 123 199 322 521…
■植物の花びらは普通、フィボナッチ数列かその倍の枚数になっている。例えばゆりの花びらは３枚、きんぽうげは５枚、マリーゴールドは13枚、アスターは21枚だし、ほとんどのひな菊は34枚か55枚か89枚である。また特異例として３、４、７、11、18枚のものもあるが、これはリュカ数列の数値である。
■フィボナッチ数は植物の葉序、つまり太陽光に対して重ならないような葉の生え方の順序にも現れる。ブナやハシバミなどは１／３回転して次の葉が生えてくるので、＜１／３葉序＞と呼ばれる。カシやアンズは２／５葉序が、ポプラやナシは３／８葉序が、ヤナギやアーモンドでは５／13葉序が見られる。
■この数字は１つおきのフィボナッチ数の商だが、実は正の５／８回転と負の３／８回転は全く同じ効果を持っている。またこの数列は植物成長のダイナミクスとも関係が深い。互いに相手を貫いている２組の螺旋グループからなり、一方は時計方向に曲がり、もう一方は反時計回りに曲がっているのが分かる。
■このフィボナッチ数列は黄金比と深い関係がある。この数列の任意の１項を前項で割ると黄金比φ（＝1.618…）に近い値となる。また逆に前項をその項で割ると１／φ（＝0.618…）に近似する。例えば第10項を第９項で割ると55／34＝1.617647…となり、分母分子を逆にすると34／55＝0.6181818…となる。
■この任意の項数が大きくなるほど黄金比に漸近していき、その極限値が黄金比φ＝1.618033988…となるのだ。またリュカ数列の各項の値は黄金比1.618…をその項数分だけ累乗した数に極似している。これもまた第10項を例に取れば(1.618…10＝)122.9660357…で、第10項の123に漸近した値になっている。
■黄金比はφ＝（１±√５）／２として表され、幾何学的には外分比と内分比を等しくする比率である。黄金比はバビロニア人が発見したと言われるが、各地の古代遺跡上にも散見できる。正５角形を描けば、その１辺と対角線との比に自然に現れる。またペンタグラムや正12面体の一つの面などにも現れる。
■この数列の第10項の55という数は10の３角数であり、また第12項の144という数は12の２乗だ。つまり１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10＝55であり、また12２＝144であるということが、第10項と第12項に現れていることは10進法と12進法を想起させる。144はこの数列の中で１を除く唯一の平方数だ。
■この２つの数列において、任意のリュカ数を同じ項数のフィボナッチ数で割ると、29／13＝2.230…、47／21＝2.238…、76／34＝2.235、123／55＝2.236…というように、√５＝2.2360679…の近似値を上下しながら、√５に漸近していく。なおこのリュカ数列の下一桁の数字は13項で繰り返す周期を持っている。
■さて表題に示した「５−８−13」という数値はごらんの通りフィボナッチ数列の第５項、第６項、第７項だが、アプリオリに与えられる初項と第２項を別枠にすると、第３、第４、第５番目とも捉えられる。このキーの数を「フィボナッチ数列の３つの窓」と称して様々なものの上に見ていくことにしよう。
φ-003 フィボナッチ数列の５-８-13
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