[ETEREA]:Nature
by Numbers http://blog.livedoor.jp/clock510/archives/1300693.html
■フィボナッチ数列とは下に示したように＜初項１，第２項１＞とし、以下順次前２項の和となる数の数列だ。しかし必ずしも＜初項１，第２項１＞である必要はない。そこで文法はそのままで、順を追って見ていくために初項は１に固定し、第２項を２，３，４…と順次自然数を入れていくことにしよう。
＜初項１，第２項１の数列＞(フィボナッチ数列）
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11
12 13
F1;1 １ １ ２ ３ ５ ８ 13 21 34 55 89 144
233
＜初項１，第２項２の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11
12 13
F1;2 １ ２ ３ ５ ８ 13 21 34 55 89 144 233
377
■２番目の数列は＜初項１，第２項２＞としたものだが、これはフィボナッチ数列の初項が抜け落ちただけで、以下数列が順次１つずつ前にずれた同じ数列であることが分かる。さらに＜初項１，第２項３＞が３番目、２番目の初項と第２項を入れ替えて＜初項２，第２項１＞としたものが３番目の数列である。
＜初項１，第２項３の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11
12 13
F1;3 １ ３ ４ ７ 11 18 29 47 76 123 199 322
521
＜初項２，第２項１の数列＞(リュカ数列)
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11
12 13
F1;3 ２ １ ３ ４ ７ 11 18 29 47 76 123 199
322
■すると今度は２番目の数列の初項と第２項を入れ替えただけの４番目の数列が、＜初項１，第２項３＞の３番目の数列を順次１つずつ後ろにずれた数列と同じものであることが分かる。この＜初項２，第２項１＞数列はリュカ数列と呼ばれている。リュカ数は自然数だが超越数である黄金比と深い関係がある。
■以下に黄金分割比φ(＝1.618…)の累乗した値の数列と、黄金分割比φの逆数１／φ(＝0.618…)の累乗の値の数列を示した。これらからまずリュカ数の第ｎ項と黄金比φのｎ乗とは極似した値であるということが見て取れるだろう。
＜黄金分割比φの累乗の数列＞
＜黄金分割比の逆数１／φの累乗の数列＞
■さてここでφそのものは超越数のような(※1)数だから何乗しても整数にはならない。しかしφとその逆数１／φを同じだけ累乗した数を、奇数回累乗した時はその和を、偶数回累乗した時はその差を取ることによって整数化が可能ではないかという推測が成り立つ。実際にそれはリュカ数そのものなのである。
■つまり「リュカ数の第ｎ項はφn±１／φnとは等しい」（ただし−は奇数回の、＋は偶数回の累乗）ということである。ということはリュカ数列の数値が、黄金分割比φの累乗の数値よりも、その逆数の累乗分だけプラスとマイナスにずれて振動しつつ、限りなく漸近していくということをも示唆している。
φ１−１／φ１＝１
φ２＋１／φ２＝３
φ３−１／φ３＝４
φ４＋１／φ４＝７
φ５−１／φ５＝11
φ６＋１／φ６＝18
φ７−１／φ７＝29
φ８＋１／φ８＝49
φ９−１／φ９＝78 （以下省略）
■リュカ数には「偶数・奇数・奇数」というパターンがある。これは<奇数>＋<奇数>→<偶数>、<偶数>＋<奇数>→<奇数>、<奇数>＋<偶数>→<奇数>となり、<偶数>＋<偶数>→<偶数>のパターンがないためだ。また任意の項を２倍して１項前の数を足すと２項先の数値になる等多くの特徴があるがここでは触れない
。
■次の数列＜初項１，第２項４＞は60や665（＝666−１）が現れていたりして少し気になる。またその下はこの数列の２倍体(※2)だ。バイナリーの２、オクターブの８、十進法の10、マヤの農耕暦におけるの18ヶ月、13の月の暦の１ヶ月28日、人間の染色体の数46、さらに120、11^3−１の1331などが見て取れる。
＜初項１，第２項４の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11
12 13
F1;4 １ ４ ５ ９ 14 23 37 60 97 157 254 411
665
＜初項２，第２項８の数列＞ （上の数列の２倍体）
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
１０ １１ １２ １３
F2;8 ２ ８ 10 18 28 46 74 120 194 314 508 822
1330
■そして次は＜初項１，第２項５＞の数列だ。すでに第２項と第３項で５と６の関係が予兆できそうである。た第６項で肉体のサイクルの28日が、そして第８項では１年365日の１／５の日数の73日などが連想される。しかしこの数列の眼目は、すぐ下に表わしたように２倍体化した時に明らかになるのである。
＜初項１，第２項５の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11
12 13 14 15
F1;5 １ ５ ６ 11 17 28 45 73 118 191 309 500
809 1309 2118
＜初項２，第２項10の数列＞（上の数列の２倍体、フュンク・ウレの数列）
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11
12 13 14 15
F2;10 ２ 10 12 22 34 56 90 146 236 382 618 1000
1618 2168 4236
■実はこの数列は「フュンク・ウレの数列」といい、黄金分割比φの10進法的・12進法的とも言える内部構造が垣間見られるとても興味深い数列だ。すでに第２項が10、第３項が12でその明白なラベル付けにもなっているが、これには当然第１項の２、そして１倍体の１と５も各進法と共に関連してきている。
■この数列も黄金比も含めて様々な特徴があるが、分かりやすいようにこの数列の第10項、第11項、第12項、第13項、第14項を見てみよう。初項と第２項を別枠と考えれば、第８番目、第９番目、第10番目、第11番目、第12番目となり、前者が12を中心とした見方だとすれば、後者は10が中心の見方であろう。
■この第10〜14項の数値の<382, 618, 1000,
1618, 2618…>を観て、数的感覚の鋭い人ならこの数値の上に黄金比との重なりを見て取るだろう。分かり易いようにこの数値に１／1000を掛けると<0.382,
0.618., １，1.618, 2.618…>となる。これはφ1/3，φ1/2，１，φ１，φ２ の少数点以下３桁までに等しい。
■これは最初の＜初項１，第２項５＞の数列の１／500倍体でもある。ここでこのフュンク・ウレ数列の１／1000の数列を、真中の第12項（もしくは初項と第２項を別枠とした第10番目の項）を中心にして前後を見てみよう。ここが逆数との反転界面の中心になっていることが分かる。10と12の関係も見えてくる。
■初項と第２項を別枠にして考えると、第19番目がφ９で10進法の一桁の数の最後と、20進法最大の数19との重なりと見ることができるし、そのまま数えると第22項がφ10と重なり、カバラの生命の樹の22のパスやタロットカードの大アルカナの22枚などと10進法との交差点が想定できるのではないだろうか。
■また逆に小さいほうの数を見ても、第１項がφ1/12であり、別枠で考えた第１番目つまり第３項がφ1/10となっている。「数は３から始る」という表現をしたが、このような見方も同時に想定できれば、フュンク・ウレ数列の上に10進法と12進法の重なりを同時に垣間見ることが出来るかも知れない。
■続いて足早に第２項が６〜10の数列も見てみよう。まず＜初項１，第２項６＞の数列だが、マヤ的な数値である13，20が入っていたり、ペンターブシスタムを連想させる１から４までの階乗の総和（１！＋２！＋３！＋４！＝）の33、もしくは１と２の５乗の和でもある（１５＋２５＝)33(※3)も見えている。
＜初項１，第２項６の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13
F1;6 １ ６ ７ 13 20 33 53 86 139 225 364 589
953
■オクターブを12音階に収斂させる前に摸索中の平均律での１オクターブ内の音階数でもあった53という数が見える。さらに第10項には金星の公転周期でもある225日、第11項には地球の１年でもある364(＋１)日、第12項には金星の会合周期584日に非常に近い(＋５)数値が並んでいる興味深い数列である。
■第７項以降にも興味を引く数が顔を見せてはいるが、10進法でもペンターブ的な１〜５に対してその２倍体的対応でもある６〜10は複雑になるが面白味はなかなか直接見出せない。このフィボナッチ数列の系の後半に関しては、初項と第２項の入れ替えと共に機会があれば日を改めて見ていくことにしたい。
＜初項１，第２項７の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12
13
F1;7 １ ７ ８ 15 23 38 61 99 160 259 419 678
1097
＜初項１，第２項８の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12
13
F1;8 １ ８ ９ 17 26 43 69 112 181 293 474 767
1241
＜初項１，第２項９の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12
13
F1;9 １ ９ 10 19 29 48 77 125 202 327 529 856
1385
＜初項１，第２項10の数列＞
項数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12
13
F1;10１ 10 11 21 31 52 83 135 218 353 571 924
1495
20010423rep. 20120216re-rep.
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(※1)「超越数」とはπや自然対数の底ｅのように、整数係数のどの代数方程式の根にもならない実数のこと。黄金比自体は（１±√５）／２として表されるので超越数ではない。
(※2)この場合の「２倍体」とは単純に初項と第２項の数値を２倍しただけのものを指し、数列全体の値が元の２倍になっている。この言葉は私の造語だが、次元が上がると各要素感の関係も複雑になるように、このほかの数列に対しても２倍体を見ていかねばならないのは当然だが、その他にも３倍体、４倍体…方向の関係も見ていかねばならないだろう。
(※3）33に関する追記。33はキリスト教圏では完成の数として重視されている。またフリーメイソンの階級は33である。ダンテの神曲の構成は33章が３部からなる99章である。人間のバイオリズムにおける33日は知性のリズムサイクルであると言われている。33度Ｃは睡眠時の布団の中の快適温度（湿度は50％前後）であるが、人間の体温としては下限であり、これいかに下がると意識を失ってしまう。なおプランク長さは10−33（√Ｇh／ｃ3）（Ｇ：ニュートンの重力定数、ｃ：真空中の光速度、h：デュラック定数）である。
φ-001 フィボナッチ数列の第２項を変える
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