![](f-001-01.JPG)
[ETEREA]:Nature
by Numbers http://blog.livedoor.jp/clock510/archives/1300693.html
■フィボナッチ数列とは下に示したように<初項1,第2項1>とし、以下順次前2項の和となる数の数列だ。しかし必ずしも<初項1,第2項1>である必要はない。そこで文法はそのままで、順を追って見ていくために初項は1に固定し、第2項を2,3,4…と順次自然数を入れていくことにしよう。
<初項1,第2項1の数列>(フィボナッチ数列)
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13
F1;1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
233
<初項1,第2項2の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13
F1;2 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
377
■2番目の数列は<初項1,第2項2>としたものだが、これはフィボナッチ数列の初項が抜け落ちただけで、以下数列が順次1つずつ前にずれた同じ数列であることが分かる。さらに<初項1,第2項3>が3番目、2番目の初項と第2項を入れ替えて<初項2,第2項1>としたものが3番目の数列である。
<初項1,第2項3の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13
F1;3 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322
521
<初項2,第2項1の数列>(リュカ数列)
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13
F1;3 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199
322
■すると今度は2番目の数列の初項と第2項を入れ替えただけの4番目の数列が、<初項1,第2項3>の3番目の数列を順次1つずつ後ろにずれた数列と同じものであることが分かる。この<初項2,第2項1>数列はリュカ数列と呼ばれている。リュカ数は自然数だが超越数である黄金比と深い関係がある。
![](f-001-02.JPG)
■以下に黄金分割比φ(=1.618…)の累乗した値の数列と、黄金分割比φの逆数1/φ(=0.618…)の累乗の値の数列を示した。これらからまずリュカ数の第n項と黄金比φのn乗とは極似した値であるということが見て取れるだろう。
<黄金分割比φの累乗の数列>
![](f-001-02-1.JPG)
<黄金分割比の逆数1/φの累乗の数列>
![](f-001-02-2.JPG)
■さてここでφそのものは超越数のような(※1)数だから何乗しても整数にはならない。しかしφとその逆数1/φを同じだけ累乗した数を、奇数回累乗した時はその和を、偶数回累乗した時はその差を取ることによって整数化が可能ではないかという推測が成り立つ。実際にそれはリュカ数そのものなのである。
■つまり「リュカ数の第n項はφn±1/φnとは等しい」(ただし−は奇数回の、+は偶数回の累乗)ということである。ということはリュカ数列の数値が、黄金分割比φの累乗の数値よりも、その逆数の累乗分だけプラスとマイナスにずれて振動しつつ、限りなく漸近していくということをも示唆している。
φ1−1/φ1=1
φ2+1/φ2=3
φ3−1/φ3=4
φ4+1/φ4=7
φ5−1/φ5=11
φ6+1/φ6=18
φ7−1/φ7=29
φ8+1/φ8=49
φ9−1/φ9=78 (以下省略)
![](f-001-03.JPG)
■リュカ数には「偶数・奇数・奇数」というパターンがある。これは<奇数>+<奇数>→<偶数>、<偶数>+<奇数>→<奇数>、<奇数>+<偶数>→<奇数>となり、<偶数>+<偶数>→<偶数>のパターンがないためだ。また任意の項を2倍して1項前の数を足すと2項先の数値になる等多くの特徴があるがここでは触れない
。
■次の数列<初項1,第2項4>は60や665(=666−1)が現れていたりして少し気になる。またその下はこの数列の2倍体(※2)だ。バイナリーの2、オクターブの8、十進法の10、マヤの農耕暦におけるの18ヶ月、13の月の暦の1ヶ月28日、人間の染色体の数46、さらに120、11^3−1の1331などが見て取れる。
<初項1,第2項4の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13
F1;4 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157 254 411
665
<初項2,第2項8の数列> (上の数列の2倍体)
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13
F2;8 2 8 10 18 28 46 74 120 194 314 508 822
1330
■そして次は<初項1,第2項5>の数列だ。すでに第2項と第3項で5と6の関係が予兆できそうである。た第6項で肉体のサイクルの28日が、そして第8項では1年365日の1/5の日数の73日などが連想される。しかしこの数列の眼目は、すぐ下に表わしたように2倍体化した時に明らかになるのである。
<初項1,第2項5の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15
F1;5 1 5 6 11 17 28 45 73 118 191 309 500
809 1309 2118
<初項2,第2項10の数列>(上の数列の2倍体、フュンク・ウレの数列)
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15
F2;10 2 10 12 22 34 56 90 146 236 382 618 1000
1618 2168 4236
![](f-001-04.JPG)
■実はこの数列は「フュンク・ウレの数列」といい、黄金分割比φの10進法的・12進法的とも言える内部構造が垣間見られるとても興味深い数列だ。すでに第2項が10、第3項が12でその明白なラベル付けにもなっているが、これには当然第1項の2、そして1倍体の1と5も各進法と共に関連してきている。
■この数列も黄金比も含めて様々な特徴があるが、分かりやすいようにこの数列の第10項、第11項、第12項、第13項、第14項を見てみよう。初項と第2項を別枠と考えれば、第8番目、第9番目、第10番目、第11番目、第12番目となり、前者が12を中心とした見方だとすれば、後者は10が中心の見方であろう。
■この第10〜14項の数値の<382, 618, 1000,
1618, 2618…>を観て、数的感覚の鋭い人ならこの数値の上に黄金比との重なりを見て取るだろう。分かり易いようにこの数値に1/1000を掛けると<0.382,
0.618., 1,1.618, 2.618…>となる。これはφ1/3,φ1/2,1,φ1,φ2 の少数点以下3桁までに等しい。
![](f-001-05.JPG)
■これは最初の<初項1,第2項5>の数列の1/500倍体でもある。ここでこのフュンク・ウレ数列の1/1000の数列を、真中の第12項(もしくは初項と第2項を別枠とした第10番目の項)を中心にして前後を見てみよう。ここが逆数との反転界面の中心になっていることが分かる。10と12の関係も見えてくる。
■初項と第2項を別枠にして考えると、第19番目がφ9で10進法の一桁の数の最後と、20進法最大の数19との重なりと見ることができるし、そのまま数えると第22項がφ10と重なり、カバラの生命の樹の22のパスやタロットカードの大アルカナの22枚などと10進法との交差点が想定できるのではないだろうか。
■また逆に小さいほうの数を見ても、第1項がφ1/12であり、別枠で考えた第1番目つまり第3項がφ1/10となっている。「数は3から始る」という表現をしたが、このような見方も同時に想定できれば、フュンク・ウレ数列の上に10進法と12進法の重なりを同時に垣間見ることが出来るかも知れない。
![](f-001-06.JPG)
■続いて足早に第2項が6〜10の数列も見てみよう。まず<初項1,第2項6>の数列だが、マヤ的な数値である13,20が入っていたり、ペンターブシスタムを連想させる1から4までの階乗の総和(1!+2!+3!+4!=)の33、もしくは1と2の5乗の和でもある(15+25=)33(※3)も見えている。
<初項1,第2項6の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
F1;6 1 6 7 13 20 33 53 86 139 225 364 589
953
■オクターブを12音階に収斂させる前に摸索中の平均律での1オクターブ内の音階数でもあった53という数が見える。さらに第10項には金星の公転周期でもある225日、第11項には地球の1年でもある364(+1)日、第12項には金星の会合周期584日に非常に近い(+5)数値が並んでいる興味深い数列である。
■第7項以降にも興味を引く数が顔を見せてはいるが、10進法でもペンターブ的な1〜5に対してその2倍体的対応でもある6〜10は複雑になるが面白味はなかなか直接見出せない。このフィボナッチ数列の系の後半に関しては、初項と第2項の入れ替えと共に機会があれば日を改めて見ていくことにしたい。
![](f-001-07.JPG)
<初項1,第2項7の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
F1;7 1 7 8 15 23 38 61 99 160 259 419 678
1097
<初項1,第2項8の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
F1;8 1 8 9 17 26 43 69 112 181 293 474 767
1241
<初項1,第2項9の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
F1;9 1 9 10 19 29 48 77 125 202 327 529 856
1385
<初項1,第2項10の数列>
項数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
F1;101 10 11 21 31 52 83 135 218 353 571 924
1495
20010423rep. 20120216re-rep.
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(※1)「超越数」とはπや自然対数の底eのように、整数係数のどの代数方程式の根にもならない実数のこと。黄金比自体は(1±√5)/2として表されるので超越数ではない。
(※2)この場合の「2倍体」とは単純に初項と第2項の数値を2倍しただけのものを指し、数列全体の値が元の2倍になっている。この言葉は私の造語だが、次元が上がると各要素感の関係も複雑になるように、このほかの数列に対しても2倍体を見ていかねばならないのは当然だが、その他にも3倍体、4倍体…方向の関係も見ていかねばならないだろう。
(※3)33に関する追記。33はキリスト教圏では完成の数として重視されている。またフリーメイソンの階級は33である。ダンテの神曲の構成は33章が3部からなる99章である。人間のバイオリズムにおける33日は知性のリズムサイクルであると言われている。33度Cは睡眠時の布団の中の快適温度(湿度は50%前後)であるが、人間の体温としては下限であり、これいかに下がると意識を失ってしまう。なおプランク長さは10−33(√Gh/c3)(G:ニュートンの重力定数、c:真空中の光速度、h:デュラック定数)である。
φ-001 フィボナッチ数列の第2項を変える
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