（１）プラトンの理想市民の数

■１■プラトンは『法律』の第５巻の随所で、彼の構想する共和国（理想のポリス）の市民の戸数を5040と語っている。この数の因数の総数が59個であること、すなわち自らも入れれば約数が全部で60個あるということや、この5040の中に１〜10までの全ての数が因数に含まれていることが語られている(※1)。

■２■また『法律』の第６巻でもこの5040という数について触れており(※2)、こちらでは11を除く１〜12までが全て約数であるという表現をしている。11に関しても「２を引くことで健全になる」と表現している。これは5040から２を引いた5038が11×458であり、11もまたほぼ約数として扱えるということだ。

■３■また5040は70×72でもあるが、この２つの接近する２数の平均の71に注目すれば、71^２＝5040＋１＝5041であることがわかる。この数を持ち出した直接的な理由は不明のままだが、彼自身のオリジナルではなく、ピュタゴラス学派かそれ以前の秘められた数理体系から来ているのではないかと憶測される。



　　　　　（２）月と地球のマイルと5040

■４■英米では長きに渡りヤード・ポンド法を用いてきた。英国は1995年にメートル単位系に移行したが、米国は今でもヤード・ポンド法を用いている。私たちが用いているメートル法で表せば、月と地球の半径は1738kmと6371kmとなるが、マイルにすると月と地球の半径は1080マイルと3960マイルとなる。

■５■ところで1080マイルは３×360であり、3960マイルは11×360である。360は共通だから月と地球の半径比は３：11である。そしてこの月と地球の半径の和は（360×14＝）5040マイルとなっている。月と地球を接触させたと仮定すると、そこには辺長比３：４：５のピュタゴラスの直角３角形ができる。

■６■１×２×３×４×５×６は720であり、また８×９×10もまた720である。月の直径はこの３倍の2160マイルであり、地球の直径は同じく11倍の7920マイルである。地球と月の直径の和は10080マイルだが、これは5040＋5040＝（１×２×３×４×５×６）×７＋（８×９×10）×７でもある(※3)。



　　　　　（３）円周率πの代用と5040

■７■円周率πをエジプトでは22／７で代用していたという。このことを上記のことも踏まえつつ、自然数の１から11までを全て用いて、このπの近似値を捉え直してみてみよう。１〜６の積は720であり、これに７を掛けると5040だった。また８〜10の積も720であり、これに11を掛けると7920となる。

　　　（ａ）１×２×３×４×５×６＝720
　　　（ｂ）１×２×３×４×５×６×７＝5040
　　　（ｃ）８×９×10＝720
　　　（ｄ）８×９×10×11＝7920

■８■では８×９×10×11を１×２×３×４×５×６×７で割ってみよう。１〜６の積と８〜10の積は共に720だから約分すると、シンプルに11／７となる。11／７＝1.5714…だが、これはπ／２＝1.570763…に近似している。つまり22／７はπの近似値である。720は360の２倍である。22は11の２倍である。

　　　（ｅ）８×９×10×11／１×２×３×４×５×６×７＝11／７
　　　（ｆ）11／７＝1.5714285714285714285714285714286…
　　　（ｇ）22／７＝3.1428571428571428571428571428571…
　　　（ｈ）　　π＝3.1415926535897932384626433832795…

■９■１〜６の積と８〜10の積のどちらに対しても、円周360度（もしくは２スピン分の720度）を割り切れない一桁で唯一の自然数である７を掛けると5040となる。そしてれまた１〜12の中で唯一5040の約数でない11という数との関係に置いて、円周率πの近似値が立ち現われることは不思議な事実である。

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（※１）『プラトン全集13』向坂寛・森進一・池田美恵・加来彰俊訳、岩波書店刊。p.314,p.318,p.326,p.329　60個の約数は以下の通り⇒1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

（※２）同上p.368「しかしその11でも、ほんのわずかの治療を施せばいいのです。１つの方法としては、２つの竈を取り去れば健康になります。」

（※３）このことはデュランバロウ・メルキーザディックが自らの神聖幾何学の中で示したものだが、その出所はローレンス・ブレアのRhythms of Vision（邦訳名「超自然学」）であり、ローレンス・ブレアはジョン・ミチェルから引用している。
　　月の半径　＝1738km　　＝1080マイル＝（１×２×３×４×５）×９＝３×360
　　地球の半径＝6378km　＝3960マイル＝（１×２×３×４×５）×33＝11×360
　　地球の直径の7920マイル＝８×９×10×11
　　月の半径＋地球の半径＝5040マイル＝１×２×３×４×５×６×７＝７×８×９×10。

GUIDE 5040-001 プラトン・月と地球・π