■１辺３点の６角格子の19個の交点の上に１〜19の数を乗せて、この直線上の数の和も同じ数（定和）になるようにしたものを６角魔方陣という。クリフォード･Ｗ.アダムスは47年かけて1957年に解を見つけたが、解を書いた紙を紛失してしまったために、再発見するのにさらに５年かかってしまった。(※1)

■この解は本質的に一通りであり、ユニットが１つだけの自明な場合を除いて６角魔方陣は他には存在しないことを、1964年にトリグスが証明した。この魔方陣の中心数は５で確定している。したがって他のユニットのどこか１つの数字が決定すれば、この６角魔方陣の１〜19までの数字の位置もまた確定する。

■６角魔方陣の定和は38である。38はもちろん19の２倍だ。定和の本数は全部で15本。この魔方陣を上下左右にしようが逆さまにしようが、解は本質的に一通りしかないので変化はない。この横の３連数、４連数、５連数の定和はみな38だ。これを60度右左に回転させると、全部で15本の定和があること分かる。

　　　　９＋14＋15＝38　　　　　18＋11＋９＝38　　　　　15＋13＋10＝38
　　11＋６＋８＋13＝38　　　17＋１＋６＋14＝38　　　14＋８＋４＋12＝38
18＋１＋５＋４＋10＝38　３＋７＋５＋８＋15＝38　９＋６＋５＋２＋16＝38
　　17＋７＋２＋12＝38　　　19＋２＋４＋13＝38　　　11＋１＋７＋19＝38
　　　　３＋19＋16＝38　　　　　16＋12＋10＝38　　　　　18＋17＋３＝38
　

■中心から第２層の６ユニットの総和は28であり、中心の５も加えると33となる。第３層の12ユニットの総和は157だ。そしてこの６角魔方陣の総和は190は１〜19までの総和だから、19の３角数であるとも言える19の10倍だから10進法的でもあるが、９つの対和の20と中心の10と見て20進法的とも眺められる。

　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９
　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　そして10
　19　　18　　17　　16　　15　　14　　13　　12　　11
　↓　　↓　　↓　　↓　　↓　　↓　　↓　　↓　　↓
　20　　20　　20　　20　　20　　20　　20　　20　　20

■ところで幾何学的に見れば、１辺３の正８面体のユニット数もまた19である(１^２＋２^２＋３^２＋２^２＋１^２＝19) 。そしてベクトル平衡体数というものを考えると、一般にベクトル平衡体の多重殻数の第ａ層の個数はａ^２×10＋２で与えられるので、１辺３のベクトル平衡体数は92という数になっている。

■横道に少し逸れるが、ベクトル平衡体の立体魔方陣というものを考えてみよう。しかしクリフォード･Ｗ.アダムスの６角魔方陣を今個人で制作するのは明らかに無理なので、ここでは第２層までの全部で13ユニットからなるベクトル平衡体で、全ての定和ラインが中心を通るシンプルなものを考えてみよう。

　　　１，２，３，４，５，６，７，８，９，10，11，12，13



■ノーマルに考えれば、中心数が７、対和が14が６組、これに中心数を入れて定和は21というものになるだろう。総和は19の反転数91である。91は13の３角数でもある。この他にも「中心数が１、対和が15、定和が16」のものと、「中心数が13、対和が13、定和が26」のものを想定することができるだろう。(※2)

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(※1)現在判明しているこの解の最も古い発見者はエルンスト・フォン・ハッセルベルグ(1887年に発表)である。
(※2)６角魔方陣魔に入れる数字を「１から始まるのではない」という条件を緩めて、ただ「連続する整数」とすれば、さらに大きいものができる。wikipediaにはZahray Arsenが発表した１辺４点以上のものが紹介されている。
　　⇒ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AD%94%E5%85%AD%E8%A7%92%E9%99%A3



１辺：４、中心数：９、定和：111、使用した連続数：３〜39　by Zahray Arsen
１辺：５、中心数：８、定和：244、使用した連続数：６〜66　by Zahray Arsen
１辺：７、中心数：30、定和：635、使用した連続数：２〜128 by Zahray Arsen

GUIDE 19-003　唯一の６角魔方陣の19ユニット