GUIDE 19-002:フラワーオブライフと19までの奇数の和 
   

■囲碁盤は中心点(天元)からその順次外側に3×3、5×5…と19×19まで相似形の正方形の層の広がりとしても見ることができた。そしてその正方形を内側から第9線、第8線…第1線と呼んでいた。同様にして中心点から外側に順次1辺が1,2,3…の正6角形を波紋のように重ね広げる形を考えよう。

■囲碁盤のように順次外に広がる多重正方形(正4角形)の点の数の総称を有心4角数という。正6角形のものは有心6角数、もしくは6角格子数とかヘックス数ともいう。古代ギリシア人が研究した6角数と混同してはならない。平面被覆は1,7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397…と続く。

■1辺3点の6角格子の全ての交点の数、つまり3の有心6角数は図で見ても分かるように19である。この1辺3の6角格子の単位長を半径として、各点からコンパスで円を描いていくとフラワーオブライフのシンボルマークになる。この平面被覆の図は幾何学的に不変なので、世界各地の遺跡上に残っている。
 

■さてこの1〜19の自然数のうちから奇数だけを順次1つ(1)・2つ(3,5)・3つ(7,9,11)・4つ(13,15,17,19)にまとめて足していくと、それぞれの和は1,8,27 ,64すなわち1
,2,3,4になっていることが分かる。つまりこの数列がそのまま1,2,3,4の3乗になっているのである。

■しかもこの4数の和(もしくは1〜19までの奇数の和)は100になっている。これはミクロ・マクロ双方向に5=1を見るペンターブシステムを連想させられるが、この奇数の和がこの後どうなるのか見るためにさらに先まで伸ばしてみよう。するとn 番目までの有心6角数の和は立方数となることが分かる。

1=1=1
3+5=8=2

7+9+11=27=3

13+15+17+19=64=4

21+23+25+27+29=125=5

31+33+35+37+39+41=216=6

43+45+47+49+51+53+55=343=7

57+59+61+63+65+67+69+71=512=8

73+75+77+79+81+83+85+87+89=729=9

91+93+95+97+99+101+103+105+107+109=1000=10


=1 =1
=9 =1+2
=36 =1+2+3
10
=100 =1+2+3+4
15
=225 =1+2+3+4+5
21
=441 =1+2+3+4+5+6
28
=784 =1+2+3+4+5+6+7
36
=1296=1+2+3+4+5+6+7+8
45
=2025=1+2+3+4+5+6+7+8+9
55
=3025=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10



■1〜10までを全て足した数、つまり10の3角数は55だった。また1〜5までを2乗した数の和、つまり5のピラミッド数もまた55だった。さらに3角数そのものを6番目まで累和していく(つまり正4面体数として見ていく)と56となるが、その最上段の1を外した5段までの総和はやはり55である。

   55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 (10の3角数)
   55=1
+2+3+4+5 (5のピラミッド数)
   55=3+6+10+15+21 (1を外した6番目までの3角数の総和)

GUIDE 19-002 ラワーオブライフと19までの奇数の和