■囲碁盤は中心点（天元）からその順次外側に３×３、５×５…と19×19まで相似形の正方形の層の広がりとしても見ることができた。そしてその正方形を内側から第９線、第８線…第１線と呼んでいた。同様にして中心点から外側に順次１辺が１，２，３…の正６角形を波紋のように重ね広げる形を考えよう。

■囲碁盤のように順次外に広がる多重正方形（正４角形）の点の数の総称を有心４角数という。正６角形のものは有心６角数、もしくは６角格子数とかヘックス数ともいう。古代ギリシア人が研究した６角数と混同してはならない。平面被覆は１,７, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397…と続く。

■１辺３点の６角格子の全ての交点の数、つまり３の有心６角数は図で見ても分かるように19である。この１辺３の６角格子の単位長を半径として、各点からコンパスで円を描いていくとフラワーオブライフのシンボルマークになる。この平面被覆の図は幾何学的に不変なので、世界各地の遺跡上に残っている。
　

■さてこの１〜19の自然数のうちから奇数だけを順次１つ(１)・２つ(３,５)・３つ(７,９,11)・４つ(13,15,17,19)にまとめて足していくと、それぞれの和は１，８，27 ,64すなわち１^３，２^３，３^３，４^３になっていることが分かる。つまりこの数列がそのまま１，２，３，４の３乗になっているのである。

■しかもこの４数の和（もしくは１〜19までの奇数の和）は100になっている。これはミクロ・マクロ双方向に５＝１を見るペンターブシステムを連想させられるが、この奇数の和がこの後どうなるのか見るためにさらに先まで伸ばしてみよう。するとn 番目までの有心６角数の和は立方数となることが分かる。

１＝１＝１^３
３＋５＝８＝２^３
７＋９＋11＝27＝３^３
13＋15＋17＋19＝64＝４^３
21＋23＋25＋27＋29＝125＝５^３
31＋33＋35＋37＋39＋41＝216＝６^３
43＋45＋47＋49＋51＋53＋55＝343＝７^３
57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝512＝８^３
73＋75＋77＋79＋81＋83＋85＋87＋89＝729＝９^３
91＋93＋95＋97＋99＋101＋103＋105＋107＋109＝1000＝10^３

１^２＝１　＝１^３
３^２＝９　＝１^３＋２^３
６^２＝36　＝１^３＋２^３＋３^３
10^２＝100 ＝１^３＋２^３＋３^３＋４^３
15^２＝225 ＝１^３＋２^３＋３^３＋４^３＋５^３
21^２＝441 ＝１^３＋２^３＋３^３＋４^３＋５^３＋６^３
28^２＝784 ＝１^３＋２^３＋３^３＋４^３＋５^３＋６^３＋７^３
36^２＝1296＝１^３＋２^３＋３^３＋４^３＋５^３＋６^３＋７^３＋８^３
45^２＝2025＝１^３＋２^３＋３^３＋４^３＋５^３＋６^３＋７^３＋８^３＋９^３
55^２＝3025＝１^３＋２^３＋３^３＋４^３＋５^３＋６^３＋７^３＋８^３＋９^３＋10^３



■１〜10までを全て足した数、つまり10の３角数は55だった。また１〜５までを２乗した数の和、つまり５のピラミッド数もまた55だった。さらに３角数そのものを６番目まで累和していく（つまり正４面体数として見ていく）と56となるが、その最上段の１を外した５段までの総和はやはり55である。

　　　55＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10 （10の３角数）
　　　55＝１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋５^２ （５のピラミッド数）
　　　55＝３＋６＋10＋15＋21 （１を外した６番目までの３角数の総和）

GUIDE 19-002　ラワーオブライフと19までの奇数の和