■天才数学者の有名な逸話の１つ。1918年、入院中のラマヌジャンを見舞ったＧ.Ｈ.ハーディは、自分が乗ってきたタクシーのナンバー1729がさして特徴のないつまらない数字だったと言った。それを聞いたラマヌジャンはすかさず、それは正の３乗数の和で２通りに表すことができる最小の整数だと答えた。

■1729は12の立方数1728と１の立方数１との和であり、かつ10の立方数1000と９の立方数729との和でもあるということだ。ただし負の立方数も許容するならば、絶対値が最小なのは91である。つまり６の立方数216と−５の立方数−125との和も、４の立方数64と３の立方数27との和も共に91だということだ。

■すなわち３、４、−５、６で表す「６^３＋（−５）^３＝216−125＝91＝64＋27＝４^３＋３^３」である。これは数は３から始まるという表現の文脈で言えば、91は３，４，５，６という最初の４つの数の３乗の和と差で表２通りに表されるということでもある。もちろんこのことにラマヌジャンは言及していない。

　　　12^３＋１^３＝1728＋１＝1729＝10^３＋９^３＝1000＋72
　　　６^３＋（−５）^３＝216−125＝91＝64＋27＝４^３＋３^３



■ハーディはさらに４乗数の和で２通りに表すことのできる最小の数を知っているか？と数学的な最短距離の質問もした。ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎてすぐには分からない」と答えたという。答はオイラーが発見したといわれている635318657（＝134^4＋133^4＝158^4＋59^4）である。

■この話が自分を別の安全なところ置いておきながら、数学者ラマヌジャンがいかに素早く計算ができたか、またどれだけ多くの自然数に慣れ親しんでいたかという特異性を強調する文脈で語られるなら、それは単なるゴシップ的な神格化にほかならない。彼は元々数理に親しんでいたインド人であったのだ。

■日本人の多くが学校教育の早期に九九を叩き込まれているように、インド人は99×99を早期に教え込まされる。もっとも99×99を完全に記憶している人はそう多くないらしいが、それでもインド人の算術感覚において、算数や数学の優秀な者には99×99や数の２乗や３乗の数列も染みついていたことだろう。

　

■また優秀なインド人や数学者でなくても数好きならば、３角数や４角数、正４面体数や累乗数などを書き連ねてみるだろう。誰でもみんなというわけではないが、わずか上の表だけを見ても10, 11, 12の２乗の和も、13, 14の２乗の和も共に365になることを見い出すだろう。２と19の２乗の和の365もだ。

■さらにまた最後の20の２乗の400と３乗の8000を見て、マヤの20進法を連想する者もいるだろうが、数のセンスが少しある者は11, 12, 13, 14の３乗数の和も(1331＋1728＋2197＋2744＝)8000になることや、10の３乗も加えれば10進法で最大の１桁である９の10の３乗倍である9000となることも発見するだろう。

■ラマヌジャンもまたそのような初歩的な数同士の関係には馴染んでいたに違いない。上の表の12の３乗である1728に（何乗しても変わらない）１を足せば1729になることや、10, 11, 12, 13, 14の２乗の和730から１を引いた729が９の３乗であり、10の３乗の1000との和で1729となることも知っていたはずだ。

　

■10進法で最大の自然数である「９」。その10進法で１桁上の最初の数である「10」。部分でありかつ全体でもある、何乗しても変わらないアプリオリな数「１」。そして10進法に対する12進法、もしくは空間の全方向性の数としての「12」。これら１，９，10，12という数の３乗が出揃っている1729という数。

■この現代にいろいろなことを言っても、時代背景も違うし、どうしても後出しジャンケンのような不公平さは残る。しかしこの論理的証明が得意ではなかったラマヌジャンの凄さを伝えるのに、この1729という数に関するエピソードばかり取り上げることからそろそろ開放して上げてもいいのではなかろうか。

■ラマヌジャンは大好きな人物の１人である。これはラマヌジャンの何ものをも貶めるものではなく、専門の高等数学者や科学者や数理哲学者の専門領域として遠ざけるのでもなく、私たちも自然数や整数にもっと親しみを持って接することが可能だという話だ。例えば暦の問題としてもこの1729に行き着ける。

GUIDE 1729-001 ラマヌジャンの1729