■１■原子番号17の元素は塩素で、元素記号は<Cl>である。気体原子の１つで原子量は35.453。天然には食塩、塩化マグネシウムとして存在し、二酸化マンガンに濃塩酸を加えて徐々に熱すると生ずる。工業的には食塩水を電解して作る。黄緑色で悪臭があり空気より重い。酸化力が強く、酸化剤･漂白剤･消毒財として用いる。

■２■17は７番目の素数である。また３番目のフェルマー素数でもある(２^４＋１＝17)。フェルマー数とはＦn＝２^２nの数の素数のことである。ｎ＜４の時素数となるが､それ以外の素数は見つかっていない。３は最小のフェルマー数である。 10進数表記において桁を入れ替えても素数となるエマープである(17⇔71)。

　

■３■17は連続する２つの整数のそれぞれの各べきをとった和で表すことができる(２^３＋３^２＝17)。17は２つの異なる４乗数の和で表すことができる最小の数である(17＝１^４＋２^４)。また17は２つの異なる２乗数の和で表すことができる(17＝１^２＋４^２)。17は連続した素数の和で表せる２番目の素数である。

■４■<17と19>は６番目の双子素数である。また<11, 13, 17, 19>の４数の組は４つ子素数である。17は最初の４つの素数の和である(２＋３＋５＋７＝17)。17は連続した４つの素数の和となる唯一の素数である。<ｎ^２＋ｎ＋17>の値は０≦ｎ≦15を満たす整数ｎに対し全て素数となる。17は４次方陣の対和である。

　

■５■17の逆数は(１／17＝）0.0588235294117647…で循環節の長さは16桁である。循環節の桁数が<ｎ−１>である数の２番目である。なお次の素数19もこれを満たすので、<17と19>が双子素数の中で最初の組み合わせとなる。1000以下でこのような双子素数は<59と61>、<179と181>、<821と823>の３種のみである。

■６■17は３乗した数の各桁の数の和が元の数になる数である(17^３＝4913⇒４＋９＋１＋３＝17)。このような数は１を除いてあと４個ある(８、18、26、27)。17は６番目のメルセンヌ素数である(２¹⁷−１＝131071)。メルセンヌ数とは２の冪よりも１小さい自然数、つまり<２^ｎ＝１>の形の自然数(ｎは自然数)のことである。

　

■７■一般にｐとｑが異なる素数では、<ｐ^ｑ−１>と<ｑ^ｐ−１>は40万以下の公約数を持たないが、ただひとつの例外としてｐ＝17, ｑ＝3313の場合に112643を公約数として持つ。平面図形の正17角形は定規とコンパスのみで作図できる。これはカール・フリードリヒ・ガウスが1796年に19歳の時に発見した。

■８■17は平面結晶群の数である。グレナダのアルハンブラ宮殿の装飾にその全てを見て取ることができる。非常に細かく分類すれば91個の群になるが、これに当てはまらない、同じ図形による、移動ではない、平面の敷き詰めが存在する。<17‐144‐145>はピタゴラス数である｡17の階乗は355687428096000である(15桁)。

　

■９■人間の鼓膜面での音圧は、中耳アブミ骨から内耳へ送り出す時、面積による昇圧50/３≒17で17倍に増強されて伝えられる(現代音響学,オーム社)。17年ゼミは、アメリカ合衆国東部に生息する周期ゼミで、17年周期で発生する。全部で３種が存在する。冥王星と地球の質量比は17：10000、もしくは0.0017：１である。

■10■ヴィンチェンツォ・ガリレイは『新旧音楽の対話』(1581年)の中で、半音を18:17(約99セント)とするフレット装置法を記しているが、これによって実用的に十分な精度で平均律によるフレットの位置決めが可能である。16世紀にはフレット式弦楽器において平均律が使用されていた可能性が高いと考えられている。

　

■11■聖徳太子は推古天皇朝(604年)に「十七条の憲法」を制定した。これは君臣に垂示した訓戒で、和の精神を基とし、儒・仏の思想を調和し、君臣の道及び諸人の則るべき道徳を示した。後の「御成敗式目」は51箇条(51＝17×３)、「武家諸法度」は17箇条から構成されており、これは十七条憲法に由来するともいわれる。

■12■俳句は近世に発展した文芸であり、五・七・五の17文字と韻律・季語・切れなどで心象を表す特徴を持っている。月は日ごとに昇って来る時間が遅れるが、十七日の月を立待月(たちまちづき)という。江戸時代にはこの17夜の「立ち待ち月」を「たちまち着き」ともじって、飛脚屋は「十七屋」と称していた。

　

■13■国道17号線は、起点の東京都中央区から終点の新潟県新潟市中央区本町通七番町1054番２へ至る一般国道である(重複区間を含めば341.5km)。１〜20の中で人間はランダムな数として何を選ぶかという研究で、一般的な選択では17が最多という結果が出た。ハッカー的知識としてMITでは、17は「最小の乱数」と評された。

■14■タロットの大アルカナで17は「星」である。黒鉛筆の芯の硬さの種類は、９Ｈ〜Ｈ(ＨはHard)、ＦＦは(FirmまたはFine)、ＨＢ,Ｂ〜６Ｂ(ＢはBlack)の17種である。アマチュアボクシングの階級は男女とも10階級だが、男子プロボクシングは全17階級である(※)。なお女子は団体によって異なる。

(※)ヘビー級・クルーザー級(ジュニアヘビー級)・ライトヘビー級・スーパーミドル級・ミドル級・スーパーウェルター級(ジュニアミドル級/ライトミドル級)・ウェルター級・スーパーライト級(ジュニアウェルター級/ライトウェルター級)・ライト級・スーパーフェザー級(ジュニアライト級)・フェザー級・スーパーバンタム級(ジュニアフェザー級/ライトフェザー級)・バンタム級・スーパーフライ級(ジュニアバンタム級/ライトバンタム級)・フライ級・ライトフライ級(ジュニアフライ級)・ミニマム級(ストロー級/ミニフライ級)・アトム級(ライトミニマム級/ミニマム級/ストロー級/ミニ級)の17階級。

　

■15■第２次世界大戦の初期に、高高度での優れた性能と強い防御能力から「空の要塞」として知られていた４発重戦略爆撃機Ｂ−17は、ドイツ本土爆撃で工業力を喪失させてヒトラーを敗北に導いた。なお大戦末期の日本本土爆撃には総合性能をさらに向上させた「超空の要塞」Ｂ−29が用いられた。

■16■ラテン文化圏では17日は忌みの日である。「XVII」をアナグラムにすると「VIXI」となり、「(私は)生きた」→「(私は)死んでいる」という意味になるからである。北欧では、新年の17日目は冬の中心部または後部と考えている。欧米では「17」を、精神病患者を扱う医療分野の俗語として用いる者がいる。

GUIDE 17-001

１７＜ｎ＜１８とそのホロン

　

■17■人間の精子の重さは17ピコグラム(＝1.7×10^-11ｇ) である。蚊が１回はばたくおよその時間は0.0017秒(＝1.7ミリ秒＝1.7×10^-３秒)である。地球の軌道離心率は0.017である。現生最大の飛翔性哺乳類ジャワオオコウモリの翼開長は1.7ｍである。また1.7ｍはヒトの平均身長でもある。

■18■既知のもので最も背が高い陸生動物は既に絶滅しているサウロポセイドンで、推定全高(頭頂高)は17ｍである。１ｇの砂糖や蛋白質の代謝エネルギーは17キロジュール(＝４kcal)である。ケイ素32の半減期は170年 である。170は13次方陣の対和である。青い蝋燭の炎は1700Ｋ(＝1,400度Ｃ) である。

　

■19■米国におけるヨウ素131の指標値は170Bqである。ヨウ素131はヨウ素の放射性同位体のうちの１つで、半減期は約８日である。健康に多大な影響をもたらす存在であり、ウラン・プルトニウム・トリウムの核分裂生成物で、合計重量の３％近くを占める。甲状腺の組織を破壊する傾向があり、放射線が癌の原因となる。

■20■セドナの直径は1700kmである。2001年の世界の平均消費電力は1.7テラワット(＝1.7×10¹²Ｗ)である。地球上で最も広い国であるロシアの面積は17平方メガメートル(＝1.7×10¹³ｍ^２)だが、これは冥王星の表面積に等しい。はくちょう座の恒星デネブへの距離は17エクサメートル(＝1.7×10¹⁹ｍ＝1800 光年)である。

　

■21■1701は21番目の10角数である。2000年度の20歳日本人男性の平均身長は1.704ｍである。天王星の自転周期は17時間14.4分である。1705は14番目のトリボナッチ数である。５の３乗根は1.709975947…である。171は18の３角数である。黄道面に対する冥王星の軌道傾斜角は17.1度である。1711は58番目の３角数である。

■22■海王星と地球の質量比は17.15：１である。1717は34番目の５角数である。１ｇのレニウム185の放射能は17184Bqである。自然対数の底から１を引いた数は(ｅ−１＝)1.718281828…である。172は７次立体方陣の中心数である。１辺１の正５角形の面積は約1.72である。1720は最初の31個の素数の合計である。

　

■23■ガウスの重力定数ｋは0.01720209895である。28の６乗は17210368である。1722は41番目の矩形数である。12の３乗は1728であり、１グロス×１ダースで「グレートグロス」と呼ばれる。1728には約数が28個ある。1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,27,32,36,48,54,64,72,96,
108,144,192,216,288,432,576,864,1728)。

■24■1728は12進記数法で1000と表記される。ヒンドゥー教において黄金の時代サティヤ・ユガは４×432000＝1728000年である。また５^５×４^４×３^３×２^２×１^１＝172800000である。1729は３番目のカーマイケル数(※)であり、３番目のツァイゼル数であり、９番目の中心つき立方体数でもある。

(※)【カーマイケル数】とはｎと互いに素であるすべてのａに対しａn≡ａ(modｎ)が成り立つ合成数ｎの事で､完全疑似素数とも呼ばれる。

　

■25■英国で入院中のインドの数学者ラマヌジャンをＧ.Ｈ.ハーディが見舞った時、乗ってきたタクシーのナンバーが1729というつまらない数だったとハーディが言うと、ラマヌジャンはすかさずそれは正の３乗数の和で２通りに表すことができる最小の整数だと答えた。すなわち1729＝12^３＋１^３＝10^３＋９^３である。

■26■1729＝91×19で反転数同士の積である。１年365日は91×４＋１だが、1729日は13週間＝91日という季節の単位が19個のブロックでもある。つまり247週であり、13の月の暦では133波動魔法期であもある。また５年より91日少ない日数である。1729キュービット・インチ＝１キュービット・フィートである。

　

■27■<17296と18416>は親和数である｡173は素数である。173cmは新書判書籍の縦の長さである。1733は55番目のソフィ・ジェルマン素数である。173.31日は食半年である。１辺１の正４面体の表面積は(√３＝)1.732050808…である。なお体積は(√２／12＝)0.11785であり、高さは(√６／３＝)0.8165である。

■28■正４面体の中接球半径と外接球半径の比は１：√３＝１：1.7321である。また正４面体の中接球半径と内接球半径の比は１：√3/3＝１：0.5774である。すなわち正４面体の外接球×内接球＝中接球(√３×√3/3)＝１である。月の赤道半径は1738.092kmである。1741は29番目の中心つき４角数である。

　

■29■1741は29番目の中心つき４角数である。１度をラジアンで表すと0.01745329…となる。1746はゲマトリアで太陽を表わす666と月を表わす1080の融合数である。175は７次方陣の定和である。175年は火星の外側を公転する木星・土星・天王星・海王星が一直線に並ぶ天文学的な周期、すなわち惑星直列周期である。

■30■175＝１^１＋７^２＋５^３である。１辺175の正方形は､以下の整数辺の24個の異なる正方形で埋め尽くすことができる<1,2,3,4,5,8,9,14,16,18,20,29,30,31,35,38,39,43,51,55,　56,64,81>。 175mmはＪＩＳ規格による鉛筆の長さである。地球が太陽から受ける放射量は毎秒1.75×10¹⁷ジュールである。

　

■31■1756は26番目の中心つき５角数である。56の３乗は175616である。26の３乗は17576である。176は11の５角数である。176日は水星上の１日である。1760ヤード＝１マイルである。ピアノのオクターブの周波数から分かるように、27.5×２^６＝55×２^５＝110×２^４＝220×２^３＝440×２^２＝880×２^１＝1760である。

■32■1763020は24の超立方ホロン数である。42の２乗は1764である。木星の衛星イオの公転周期は1.769日である。177日は朔望周期29.5日の６倍である。177＋177＋11＝365、すなわち１年は12朔望周期＋11日である。177番はＮＴＴの天気予報サービス番号である。1770は59番目の３角数であり、30番目の６角数である。

　

■33■オーストラリアにはセブンティーンセブンティ(1770)という名前の町がある。黄道面に対する海王星の軌道傾斜角は1.7706度である。1771は21番目の正４面体数である。17711はフィボナッチ数列の第22項である。３の11乗は177147である。11の１〜５乗の和は(11^１＋11^２＋11^３＋11^４＋11^５＝)177155である。

■34■正４面体の中心角109.5度に黄金比φを掛けた値は(109.5×φ＝)177.1747218…である。1772は23番目の中心つき７角数である。円周率πの平方根は1.7724538509…である。３の５乗と３の11乗の和は(３^５＋３¹¹＝243＋177147＝)177390だが、この数は閏日を除いた486年の日数(＝365×486)である。

　

■35■カリホルニウム253の半減期は17.81日である。素粒子の質量単位１MeＶ/c^2は1.782677×10^-27ｇである。1782は27番目の７角数である。178312は15の超立方ホロン数である。28の１乗から５乗までの総和は(28^１＋28^２＋28^３＋28^４＋28^５＝)17847788である。1785は17番目のピラミッド数である。

■36■179は素数である。秋分から春分までの日にちは179日である。なお春分から秋分までの日にちは186日である。６の自然対数は(ｌn６＝)1.791759469…である。1794は23番目の９角数である。黄金比の６乗は17.94427191…である。1000,0000番目の素数は179424673である。海王星と冥王星の会合周期は179626.63日である。

GUIDE 17＜ｎ＜18　-001

ラマヌジャンの1729

■天才数学者の有名な逸話の１つ。1918年、入院中のラマヌジャンを見舞ったＧ.Ｈ.ハーディは、自分が乗ってきたタクシーのナンバー1729がさして特徴のないつまらない数字だったと言った。それを聞いたラマヌジャンはすかさず、それは正の３乗数の和で２通りに表すことができる最小の整数だと答えた。

■1729は12の立方数1728と１の立方数１との和であり、かつ10の立方数1000と９の立方数729との和でもあるということだ。ただし負の立方数も許容するならば、絶対値が最小なのは91である。つまり６の立方数216と−５の立方数−125との和も、４の立方数64と３の立方数27との和も共に91だということだ。

■すなわち３、４、−５、６で表す「６^３＋（−５）^３＝216−125＝91＝64＋27＝４^３＋３^３」である。これは数は３から始まるという表現の文脈で言えば、91は３，４，５，６という最初の４つの数の３乗の和と差で表２通りに表されるということでもある。もちろんこのことにラマヌジャンは言及していない。

　　　12^３＋１^３＝1728＋１＝1729＝10^３＋９^３＝1000＋72
　　　６^３＋（−５）^３＝216−125＝91＝64＋27＝４^３＋３^３



■ハーディはさらに４乗数の和で２通りに表すことのできる最小の数を知っているか？と数学的な最短距離の質問もした。ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎてすぐには分からない」と答えたという。答はオイラーが発見したといわれている635318657（＝134^４＋133^４＝158^４＋59^４）である。

■この話が自分を別の安全なところ置いておきながら、数学者ラマヌジャンがいかに素早く計算ができたか、またどれだけ多くの自然数に慣れ親しんでいたかという特異性を強調する文脈で語られるなら、それは単なるゴシップ的な神格化にほかならない。彼は元々数理に親しんでいたインド人であったのだ。

■日本人の多くが学校教育の早期に九九を叩き込まれているように、インド人は99×99を早期に教え込まされる。もっとも99×99を完全に記憶している人はそう多くないらしいが、それでもインド人の算術感覚において、算数や数学の優秀な者には99×99や数の２乗や３乗の数列も染みついていたことだろう。

　

■また優秀なインド人や数学者でなくても数好きならば、３角数や４角数、正４面体数や累乗数などを書き連ねてみるだろう。誰でもみんなというわけではないが、わずか上の表だけを見ても10, 11, 12の２乗の和も、13, 14の２乗の和も共に365になることを見い出すだろう。２と19の２乗の和の365もだ。

■さらにまた最後の20の２乗の400と３乗の8000を見て、マヤの20進法を連想する者もいるだろうが、数のセンスが少しある者は11, 12, 13, 14の３乗数の和も(1331＋1728＋2197＋2744＝)8000になることや、10の３乗も加えれば10進法で最大の１桁である９の10の３乗倍である9000となることも発見するだろう。

■ラマヌジャンもまたそのような初歩的な数同士の関係には馴染んでいたに違いない。上の表の12の３乗である1728に（何乗しても変わらない）１を足せば1729になることや、10, 11, 12, 13, 14の２乗の和730から１を引いた729が９の３乗であり、10の３乗の1000との和で1729となることも知っていたはずだ。

　

■10進法で最大の自然数である「９」。その10進法で１桁上の最初の数である「10」。部分でありかつ全体でもある、何乗しても変わらないアプリオリな数「１」。そして10進法に対する12進法、もしくは空間の全方向性の数としての「12」。これら１，９，10，12という数の３乗が出揃っている1729という数。

■この現代にいろいろなことを言っても、時代背景も違うし、どうしても後出しジャンケンのような不公平さは残る。しかしこの論理的証明が得意ではなかったラマヌジャンの凄さを伝えるのに、この1729という数に関するエピソードばかり取り上げることからそろそろ開放して上げてもいいのではなかろうか。

■ラマヌジャンは大好きな人物の１人である。これはラマヌジャンの何ものをも貶めるものではなく、専門の高等数学者や科学者や数理哲学者の専門領域として遠ざけるのでもなく、私たちも自然数や整数にもっと親しみを持って接することが可能だという話だ。例えば暦の問題としてもこの1729に行き着ける。

GUIDE 1729-001 ラマヌジャンの1729

暦の構造の中に見る1729

■私は数学的問題としてではなく暦の問題としてこの1729に行き着いた｡どちらも暦と関係のある91と19という反転数同士の積であること（91×19＝1729）や､シエラザードの数1001と13の月の暦の２年の日数728日との和（1001＋364×２＝1729）であることの方が先に出会った。12の３乗の1728も然りである。

■1729 の各桁の和は１＋７＋２＋９＝19 であり、19の反転数である91 の積は 19×91＝1729である。実は論理的説明が語られぬまま各桁数を足して別の数を作り出すこのような操作を提示するのは個人的に好きではない。しかしそれでも19と91の関係からもこの1729が成り立っていること自体は否定できない。

■暦と言えば1990年代になるまでグレゴリオ暦一辺倒で、暦自体について考えたり他の暦を併用したりこともほとんどなかった。しかし最近は明治の強制改暦以前の『太陰暦』や、ホゼ・アグエイアスが提示した『13の月の暦』や、内惑星の１兆分の１スケールの『地球暦』など様々なものが出揃って来ている。



■ラマヌジャンを知らなくても暦を考え扱う者であれば、91日が１年の１／４であり、１つの季節に相当する日数なのは自明であろう。またマヤの農耕暦ＨＡＡＢ365日の内部構造を知る者は、20日が１単位のウィナルが18ヶ月と残るワイエブの５日を合わせて19のプロックからなることも知っているはずだ。

■『世界暦』では小の月・大の月・小の月の合計が30＋31＋30＝91日である。出版や放送関係では番組や連載の改編時期の目安になる１クールは13週・(７×13＝)91日である。91の８倍は728で９^3より１小さい。また91の９倍はマヤの819日周期であり、11倍は1001で1000夜一夜物語のシエラザード数である。

■エリザベス・アケリスが提唱した『世界暦』では、小の月・大の月・小の月の合計が30＋31＋30の91日で１つの季節である。出版や放送関係では番組や連載の改編時期の目安になる１クールは13週・（７×13＝）91日である。91の３倍は273日で月の10公転周期だが、91の14倍は1001＋273の1274である。



■91の15倍は1365で、言うまでもなくこれは1000＋365でもある。９^３＝27^２の729に１を足すと365の２倍の730となるが、729に1000を足した1729は91の19倍になっている。91×19と何気なく反転数の積でもある。91の倍数はみな13の倍数でもあるわけだが、1365は13の105倍であり、1729は13の133倍である。

■2730は91の30倍であり、月の公転周期の100倍である。91は13×14×15だが、13^２＋14^２は365で地球の公転周期であり、15^２は225で金星の公転周期でもある。91の８倍の728に1000を足した1728は12^３でもあり、これに１を足した1729は1000＋729だから、10^３＋９^３というのは自然に湧いてくるだろう。

■91はククルカンのピラミッドの１面の階段数であり、１年364日の１／４である。1729を表そうとするならこのピラミッドの19面が必要となる。またこの1729日は19／４×91＝4.75年であり、あと91日足すと５年分となることが分かる。また1729は13と133の積でもある｡

　　　1729＝10^３＋９^３＝12^３＋１^３
　　　1729＝91Ｘ19＝13Ｘ133
　　　1729＝1000＋729
　　　1729＝12^３＋１



■1728には「１，２，３，４，６，８，９，12，16，18，24，27，32，36，48，54，64，72，96，108，144，192，216，288，432，576，864，1728」と約数が28個ある。一方これに１を足した1729 の約数は<1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729>の８個だ。

■ペンターブ的に表現すると１^１×２^２×３^３×４^４×５^５は1728の10^５倍の半分、すなわち172800000／２＝86400000ともなる。これは1000日分の秒数でもある。時間に関してもう１つだけ加えれば、ヒンドゥー教において黄金の時代サティヤ・ユガは1728000年（＝４×432000年）の間続く。

■ところで暦の問題としても1729に行き着くと言ったが、それは地球の１年365日とメソアメリカの神聖暦ツォルキン260日およびそれらの倍と、1000もしくは1001との和として考えてみたところから始まった。1001は13の77倍であり、また91の11倍である。260はもちろん13Ｘ20であり、また364は13Ｘ28だ。



■そして520は13Ｘ40、729は13Ｘ36−１である。したがってこれらに1000または1001を足せば次のような値になる。12の３乗は1728である。そしてこの1729はこの３次元空間の３方向を12で満たしている立方体の体積に１を足したものでもある。つまり1729は12の限界を１つ超した数と捉えることもできるのだ。

　　�@　260日（神聖暦ツォルキン）
　　�A　365日（地球の１年）
　　�B　520日（２ツォルキン）
　　�C　729日（地球の２年−１。また３の６乗）

　　�@’1260＝1000＋260＝35×36 (14直角。土星会合周期378日の３／10)
　　�A’1365＝1000＋365＝91×15＝37^２−２^２
　　�B’1520＝1000＋520＝39^２−1＝1001＋８^３＋８(39^２＝1521､８^３＝512)
　　�C’1728＝1000＋728＝12^３

　　�@”1261＝1001＋260＝13×97
　　�A”1365＝1001＋364＝13×105
　　�B”1521＝1001＋520＝13×117
　　�C”1729＝1001＋729＝13×133

■ベクトル平衡体は中接球を共有した正６面体と正８面体それぞれれの12本の稜線が中心で交差した12点を繋いでできる立体であり、中心から稜線と同じ長さの12本の線で繋ぐことができる。ベクトル平衡体はその外接球半径と12本の稜線の長さが全て同じである。また円周率πの３乗はほぼ31である。

■このベクトル平衡体を永遠に不動な多面体としてのではなく、この構造がそのまま常に動いているエネルギーの流路形体として解することもできる。12の方向の角さんと収縮を12の３乗の1728と中心としての１として同型対応視することは可能であろうが、今回はそれに言及せず別の機会にできればと思う。

GUIDE 1729-002 暦の構造の中に見る1729