■５つあるプラトン立体の回転対称軸の数を考えてみよう。回転対称とは図形や立体を特徴付ける対称性の一群のことだ。ある中心（２次元の場合）または軸（３次元の場合）の周りを360度回転させた時、何度自らと重なるかという性質のことで、ｎ回ならばｎ回対称性を有すると表現する決まり事だがある。

■ではその軸を数え上げてみよう。正６面体(面６・点８・線12)は<面心−面心>が３本、<点−点>が４本、<線心−線心>が６本と全部で13本である。これと面と点を交換することが可能な双対立体の正８面体(面８・点６・線12)は<面心−面心>が４本、<点−点>が３本、<線心−線心>が６本と全部で13本である。

■面点変換が可能なもう１セットである正12面体(面12・点20・線30)は<面−面>が６本、<点−点>が10本、<線−線>が15本と全部で31本であり、正20面体(面20・点12・線30)は<面−面>が10本、<点−点>が６本、<線−線>が15本とこちらも全部で31本だ。なお線心とは線の中心、面心とは面の中心のことである。
　

■正６面体と正８面体及び正12面体と正20面体は、面点変換すると相手の立体になる。しかし正４面体(面４・点４・線６)を面点変換すると逆向きの正４面体になる。つまり自分自身と双対の関係になっているのだ。この結果回転対称軸は<線心−線心>の３本と、<点−面心>の４本の合計で７本になっている。

■360度回転する間に何度自らと重なるかという回転対称に対して、何度回転すると自らと重なるかという概念を「回転反対称」という。例えば対概念を内包する場で360度回転すると特性が逆になり、720度回転してようやく元に戻るような特性だ。素粒子物理学でスピン1/2などという表現もこれに相当する。

■プラトン立体やアルキメデス立体などの面点変換も「回転」として捉えてみよう。例えば正６面体は１回面点変換すると正８面体になり、それをもう１度面点変換すると元の正６面体に戻る。この面点変換自体をスピン1/2と表現するならば、正４面体は１度の面点変換なのでスピン１に喩えられようか。



■なお実際のオメガ粒子のスピン3/2や、5/2、7/2なども現れる電子の高軌道に対しても、軌道角運動量とスピン角運動量を念頭にきっちり同型対応視するのではなく、メビウスの輪や２公転して初めて自転と公転の位相が揃う水星軌道などとスピン1/2との相似性も含めた比喩表現であることを明言しておこう。

GUIDE 07-006　正４面体の回転対称軸と７について