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■１■正８角形の頂点を２つ飛ばしに結んでいくと痩せた８芒星ができるが、実は１つ飛ばしに結ぶと正方形が２つずれて重なった形のもう１つの太った８芒星ができる。上図左の痩せた８芒星の内接球と外接球の比は､１：√(４＋２√２)＝１：2.613は水星と地球の軌道半径の0.3871AUと１AUと同型対応する。

８芒星内接球:８芒星外接球＝１:√(4＋2√2)＝１:2.6131
水星軌道半径:地球軌道半径＝0.3871AU：１AU＝１:2.5833　(98.86％)

■２■この図形の内部には太った８芒星がある。そしてその外接球と最初の内接球との比は１：√２だから、太った８芒星の外接球と外側の痩せた８芒星の外接球の比は√２：√(４＋２√２)＝１：1.8478である。これは木星軌道半径の5.2026AUと土星軌道半径9.5549AUの比１：1.8366と同型対応が可能である。

８芒星外接球:８芒星中接球＝√2:√(4＋2√2)＝１:1.8478
木星軌道半径:土星軌道半径＝5.2026:9.5549　＝１:1.8366　(99.42％)

■３■とちらも同じ１つの図形を用いて表現しているが、地球軌道：土星軌道＝１:9.5549だから、当然ながらそのスケール比は約１:10になっている。なお最初の８芒星の内接球と外接球の比は水星と地球の公転軌道の比として示したが、実は２星の直径比4880km:12756km＝１:2.6139をも表している(99.97％)。

■４■ところで地球と土星の軌道直径の比は１AU：9.54AUだが、この２星自体の直径比は12756km:120536km≒１：9.45なので、軌道長の比と惑星自体の大きさの比もほぼ同じであることが分かる。この図ではその地球と土星の大きさの比は表されていない。ではそれが一目で分かるような図形を描けるだろうか。

■５■それを多芒星で表現するには、15芒星を描く必要がある。ただし15芒星には太ったものから尖った15芒星まで５種類ある。そのうちの最も尖った15芒星を描き、その15芒星の外接円と中心にすっぽり収まる小円を描けば、それが地球と土星の軌道直径比と惑星自体の大きさの比を同時に表す図となるのだ。

■６■最も尖った形状の15芒星(星型正15角形{15/7})の内接円と外接円の直径比は約 1：9.567である。地球と土星の直径比１：9.45に対して98.78％の精度で一致し、また地球と土星の軌道直径の比１AU：9.54AUに対しても99.06％の精度で重なっている。15は惑星グリッドの大円の数である。少し脳が疲れた。

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画像３：｢STARWAIK｣より借用加工

20260210 Tuesday