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■１■テーブル上に３つのグラスをぴったり付けてそれを真上から見る。頭の中でグラスの中心点をつないで正３角形作り、その外接円を描く。次に３つのグラスの外接円をイメージしよう。するとこの２つの円は、太陽系の第１及び第２惑星である水星と金星の平均公転軌道の関係と相似図形になる(99.9％)。

■２■水星と金星の平均軌道半径は5791万kmと１億821万kmだから、２者の比は１：1.868…だ。また上図左の内円と外円の比は１：１＋(√３)／２で、計算すると１：1.866 となる。この数値の誤差は実際にわずか0.12％に過ぎないことが分かる。水星は楕円軌道の平均値だが、それでも十分に美しいだろう｡

■３■次に外側の赤い円周を８等分して正８角形を作り、各頂点から半径が１辺の１／２の円を８つ描く。そしてこの８つの小円をすっぽり包む外接円を描くと､今度はその２円が金星と地球の平均軌道の相似図形になる(99.99％)。そしてこの３つの円を合わせると、水星･金星･地球の平均軌道の関係図になる。

■４■この８つの小円が緑色の地球軌道に接している８つの点を、２つ飛ばしに繋げていくと８芒星ができる。そしてこの８芒星の内側にぴったり内接する円を描くと、この円は、最初の水星軌道に対応させた小さな円と重なる。つまりこの８芒星の外接円と内接円は、地球と水星の平均軌道と相似図形になる。

■５■では同様にして今度は同じ円に内接する５芒星を描いてみよう。５芒星の中心部には正５角形ができる。この正５角形に外接する円を描くと、これまた前述の８芒星に内接する円に重なる(99.5％)。つまりこの５芒星の外接円と正５角形の外接円の関係もまた、地球と水星の平均軌道に同型対応するのだ。

■６■なおこの正５角形に内接する円は水星の近日点軌道の直径に等しい。この８芒星の内接円直径と外接円直径の比は１：√(４＋２√２)＝１：2.613 であり、５芒星内の正５角形の外接円直径と５芒星の外接円直径の比は１：Φ2＝１：2.618だ。２者の誤差は0.5％未満であり、ほぼ等しいと言えるだろう。

■７■それではこの図形を、地球と水星の大きさの関係として見てみよう。軌道直径比は１:0.3871だが、地球と水星の赤道面での直径の方も,2756.274kmと4879.4kmで１:0.3825098だった。つまりこの図形は水星と地球の実際の軌道の関係でありかつ､惑星本体同士の大きさの比律もまたほぼ同じなのだ(98.8％)｡

■８■実は最初にテーブル上でグラス３つで話したのは、2014年春に淡路で多面体レクチャーした後、神戸のファミレスで観音企画と打ち合わせ中に始めたことだ。｢３つのグラスの中心を繋いだ正３角形と外接円をイメージしてみて｣と言った時、笑いながら｢いいから早くお食べ｣と言われた記憶が脳内に甦る。

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(※)これらの図はジョン・マルティノー『星たちのダンス』を参考に再描出したものだ。

20260207 Saturday