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■１■前節では６六芒星･正６角形･接円を連結させて、地球から木星と土星の公転軌道へ辿り着いた。今回も１天文単位を基本単位の１として、｢ベシカ･パイシス｣即ち<半径が同じ２つの円の円周がそれぞれもう一方の円の中心を通って交差している形状>の回転と拡大で､地球から木星と土星へつなげてみよう。

■２■アーモンド形をしたベシカパイシスの直交する長径と短径の４端点を結ぶと、正３角形が辺で対になった形の菱形が描かれる。１辺１の正３角形の高さは(√３)/２だから、この菱形の直交する長短の対角線の長さの比は√３:１だと分かる。１辺１の正６角形と内接する６芒星の１辺の比も１:√３だった｡

■３■上図右はベシカパイシスを拡大・回転させて３つ重ねて描いたものであり、左はその過程を示してある。先ず最初にＡとＢを中心とした一番小さい２つの円からなるベシカパイシスから見ていこう。円Ａと円Ｂの重なる半径ＡＢを基本単位の１とすると、上下の交点をつないだ直交するＣＤは√３となる。

■４■次にＣＤを半径とした円を２つ描くと、それらは90度回転した横向きのベシカパイシスができる。ここで新たにできる２つの交点をＥ･Ｆとして､さらに90度回転したベシカパイシスを描く。ここでできる交点Ｇ･Ｈを中心として(図からははみ出して見えない)､さらに90度回転させたベシカパイシスを描く。

■５■回転する半径比はＡＢ：ＣＤ：ＥＦ：ＧＨ＝１：√３：３：３√３となる。Ｉ、Ｊを想定してもう１度回転させると、360 度回転して半径比は９となる。ＡＢを１天文単位とすると、この比は以前４重の６芒星や４重の正６面体を用いて表した､土星までの天文単位と同じ(√３)?として捉える事ができる。

■６■つまりＧＨ(＝√３)3＝5.196…は木星の軌道長半径5.20260AUに近似し､ＩＪ(＝√３)?＝９は土星の軌道長半径9.55491AU(近日点9.02AU)に近似する。もしくはこの図の中心を太陽として、ＡＢ,ＧＨ,ＩＪを地球,木星,土星の軌道直径と重ね見られる。なお火星の軌道長半径は1.52AU(遠日点1.67AU)である。

■７■なおアステロイドベルトのトロヤ群は木星のラグランジェ点４と５に位置(5.20AU)する。また最近メインベルトと呼称する小惑星帯は2.1AU～3.2AUの間に存在しているが、その中にはコロニス族(2.83～2.91AU)、エオス族(2.99～3.03AU)、ヒギエア族(3.06～3.24AU)、テミス族(3.08～3.24AU)等もある。

■８■要するにベシカパイシスの中心点を通る１を、90度回転させることで√３に拡大させる操作を４回繰り返すことで、360度回転させて９にするということだ。結果としては６芒星を４重連結して地球から土星に至るという操作と同じことになる｡直角､４回繰り返すこと､√３倍などのより深い意味が見える｡

20260206 Friday