■１■｢フュンク・ウレの数列｣は<初項２､第２項10>で､それ以降はフィボナッチ数列と同様に前２項の和で項が進んでいく数列だ。この項数を辿っていくと第11項で618､第12項で1000､第13項で1618､第14項で2618となっていることに気づく。黄金比の１／φ､１､φ､φ2の1000倍の整数という画期的な数の並びだ。
■２■しかしネットでいくら検索しても、｢フュンク・ウレ数列｣と呼称する体系的な資料は存在しないと言われる。30年以上前に何かの本で見たはずの記憶も、今では曖昧模糊として夢か妄想で垣間見て、勝手に作り上げた存在しない記憶かもしれないと思い始めている。しかしこの数列の面白さは変わらない。
項数 １,２,３,４,５,６,７,
８, ９, 10, 11, 12, 13, 14, 15…
<1> １,１,２,３,５,８,13, 21, 34, 55,
89, 144, 233, 377, 610…
<2> ２,10,12,22,34,56,90,146,236,382,618,1000,1618,2618,4236…
(※)<1>はフィボナッチ数列、<2>はフュンク・ウレ数列
■３■この数列の最大の特徴は､第12項(初項と第２項を初期設定地として別枠で捉えれば第10項とも言える)で<1000＝103>という区切りの良い数値に到達し、その前後で本来超越数である黄金比の小数点以下を整数として抽出している点にある。つまりこの数列は、10進法と黄金比を整数のみで橋渡しするのだ。
■４■また無理数(超越数)の整数化と共に、この数列にはもう１つの特徴として演算の簡略化がある。本来黄金比φの累乗を求めるには掛け算が必要だが、単なる足し算のみで数列が生成されているのだ。そして1000という特異点を中心に黄金比(とその逆数)の掛け算としても扱える２重の座標軸になっている。
■５■さらにこの数列の｢初項２・第２項10｣という設定からの加算方向だけでなく、数列を逆進させて負の項数まで広げるとどのような展開になるか見てみよう。加法列は負の領域でプラスとマイナスを交互に繰り返し、絶対値が増大して行く。一方、乗法列(φの商)はゼロに向かって収束して行くのが分かる。
項数 加法的実数列 乗法的近似列
２ 10 5.034
１ ２ 3.105
０ ８ 1.919
-１ -６ 1.186
-２ 14 0.733
-３ -20 0.453
↓ ↓ ↓
■６■今後､この数列の｢負の領域｣での挙動解析や､他の数値をターゲットにした｢初期値の逆算｣を試行など、さらなる展開も想定できるが、今回はまず最初の数列が<初項１・第２項５>の数列の２倍体であると気が付いてからの展開だった。単にフュンク・ウレ数列のｎ倍体方向を見ていく方向もあるのだろう。
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画像１,２,３：｢旅pocket｣
より借用加工
20260303
Tuesday
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