■１■直交３軸系である正６面体と正８面体を12個の線心で重ねてから、３角錐と４角錐を全て取り払うと、共通部分として残るのがベクトル平衡体だった。１辺１にすると、各頂点から重心までの距離も全て１になる極めて安定した形だ。では５重対称形の正12面体と正20面体で同じ操作をしたらどうなるか？
■２■３角錐と５角錐を吸経て取り払ってできるのが20-12面体だ。１辺１で作るとこちらは各頂点から重心までの距離が、シンプルに全て黄金比φ(1.618…)になる。１辺１だと外接球半径がφになるのであれば、１辺を１／φにすると各頂点から重心までの距離は１になる。(１:φ＝１/φ:１)黄金比の醍醐味だ｡
■３■１辺１なら綿棒ですぐに作れるけれど、１辺を１／φにするのは難しいのでは？いいや、思っているより簡単だ。例えば１辺１の正５角形から正12面体を作るのでなく、５芒星を12枚張り合わせて作られた正12面体の１辺は１／φになる。つまり５芒星12面体の各頂点から重心まで外接球半径は１になる。
■４■この外接球半径が同じになる、１辺１のベクトル平衡体と５芒星12面体を並べてみると、どちらも１辺１の正６角形があることに気づく。この正６角形を重ねれば、他の面や線や点がずれていても、同じ１辺１の外接球を持つ２立体を重ねることができると分かる。36本と60本で、重なるのが６本になる。
■５■共通の６本と残るベクトル平衡体の30本を異なる色で着色すれば、その２つの立体の重なり具合が見て取れる(60本は無着色でも良い)。なお５芒星12面体は５芒星の頂点をそれぞれ３つずつ接続させると自然にできるが、５芒星の頂点を全て２つずつにして接続させると、１辺１／φの20-12面体ができる。
■６■５芒星12個から５芒星12面体と５芒星20-12面体ができることは分かった。では次に１辺１の20-12面体を作ってみよう。正３角形を20個作り､それぞれの頂点同士をつなげれば、それも自然にできる。では次に、この１辺１の20-12面体と５芒星12面体、あるいは５芒星20-12面体を内外２重に接続してみよう。
■７■５芒星12面体と20-12面体の接続は､手間はかかるがシンプルだ。５芒星を30個作って､それらを５芒星12面体の頂点間の各辺から外側に立ち上げると､その30個の頂点は１辺１の20-12面体になるのだ。しかもその頂点のすぐ下で、30個の５芒星の１本ずつが自然に接続して、１辺１の正12面体になっている。
■８■次は５芒星20-12面体と１辺１の20-12面体の接続もしてみよう。前者の１辺１／φ(ただし５芒星20-12面体には物質的な辺はない)と後者の１辺１を、綿棒２本を交差させて、両端間を１／φ：１になるよう接続すればよいのだ。(60×２＝)120が必要なので少し根気がいるが、基本的に誰でも製作可能だ。
<A>
ベクトル平衡体 (36本)
<B> ５芒星20-12面体 (60本)
<C> ５芒星12面体 (60本)
<D> １辺１の20-12面体 (60本)
<A>と<B>は６本の共有で接続できる
(90本)
<C>と<D>は５芒星30個で接続できる(150本)
<B>と<D>は綿棒の交差で接続できる(120本)
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(※)５芒星12面体が５個の正６面体の自己相貫体でもあることや、５芒星だなく<Λ>の形だけでも接続できることなど色々発見があると思われるが、それは実際に作ってみて分かることでもある。１人で大変そうだと思ったら、複数人で制作するのも楽しいかもしれない。
20260124
Saturday
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