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■１■「綿棒多面体の全部乗せ」についてもう少し考えてみよう。１辺１本で最小の小星型12面体から最大の斜方切頂20-12面体までを、５重回転対称性に合わせて多重多層に重ね作ったわけだが、正12面体と正20面体の他に正８面体と正４面体も見えた。そして正６面体も５芒星12面体の中に５重に入っていた。

■２■小星型12面体の12個の頂点から逆向きに３角錐を立てて正12面体に接続するということと、正12面体の20個の頂点から内向きに５角錐を入れ込んで小星型12面体に接続するということは、結果として60本を用いて２立体を繋げるということでは、どちらを主体で見るかと言う違いだけで同じ操作と構造だ。

■３■小星型12面体から正12面体には別の接続法もあった。小星型12面体の12個の頂点から１辺１の正４面体を20個立てると、その頂点は１辺１／φの正12面体の20個の頂点に接続した。そしてさらにその20個の頂点から１辺１の正４面体を20個立てると、１辺１の正12面体となる。この操作も双方向性がある。

■４■１辺１の正12面体の20個の頂点から逆向きに正４面体を乗せ、それらを稜線の倍の60本で繋いで横向きの30個の正３角柱にすることで、全体は１辺１の斜方20-12面体になる。これは正12面体の点20･線30･面12を正３角形20･正方形30･正５角形12に変換するという操作に等しい。もちろん逆の変換もありだ。

■５■この１辺１の斜方20-12面体の正３角形面から正８面体を立ち上げ､それらを30本の綿棒でつなぐと隙間は横向きの正３角柱となって埋まり、全体は１辺１の切頂20面体になる。これはそれぞれ３重２重５重の対称軸上で正３角形を60度回転し、正方形を線にし、正５角形を正10角形に変換する操作である。

■６■一方１辺１の正20面体の12の頂点から正５角錐を逆向きに12個立ち上げると､それらは１辺１の20-12面体になる。これはそれぞれ３重２重５重の対称軸上で、12の頂点が12の正５角形面になり、30本の稜線は30個の頂点となり、20ある正３角形面は60度回転した正３角形20面になるという変換操作である。

■７■さらにその20-12面体の20ある正３角形面から､ベクトル平衡体の半分を逆向きに20個立ち上げると、１辺１の切頂20面体になる。これもそれぞれ３重２重５重の対称軸上で、正３角形が正６角形になり、線が90度回転し、正５角形が正10角形になるという変換だ。形状維持のために５角錐補強がなされる。

■８■２つの流れが重なり合流した切頂20面体の正３角形面から逆向きにベクトル平衡体の半分を20個乗せ、それらを60本の線でつなぐと横向きの正３角柱30個となり､全体は１辺１の斜方切頂20-12面体になる。これも各回転軸上で正３角形が正６角形になり､線が正方形になり､正10角形はそのまま立ち上がる。

20260121 Wednesday