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■１■前回の｢ベクトル平衡体の次は20-12面体はどうか？｣という提案の背後には、実は個人的な未知解明への葛藤とブレイクスルーがあったので共有したい。幾何学には回転対称性という用語がある。回転対称性とは､任意の軸(回転対称軸)で立体を回転させた時に､何度か元の形と完全に重なる性質のことだ。

■２■プラトン立体の面形は必ず正３角形か正４角形(正方形)か正５角形であり、また各頂点に集まる線数は必ず３本か４本か５本である。これらの面心あるいは頂点対はそのまま３重､４重､あるいは５重の回転対称軸となる。この点と面のセットを相互に変換させることで、内側にも外側にも連結可能となる。

■３■全ての回転対称軸は、対になる２端点の中心で立体の重心を貫いている。そして残る２重回転対称性は、それぞれの線の線心と裏側の線心を貫いた軸の周りに見て取れる。線を挟む多角形はそれぞれ同じ正３角形・正方形・正５角形をしている。これらの回転対称性は多面体の表面だけを見て理解できた。

■４■このことは13個あるアルキメデス立体にも全て通用するものだと考えていた。しかし正６面体と正８面体の相貫体から全ての３角錐と４角錐を取り払った共通部分でもあるベクトル平衡体と、正12面体と正20面体の相貫体の同じく共通部分である20-12面体だけには､２重回転対称性に違和感を覚えていた。

■５■ベクトル平衡体の線の両側は正３角形と正方形で異なる形をしている。20-12面体の線の両側も正３角形と正５角形で異なる形をしている｡２重回転対称性って､軸を180度回転させると元の形に完全に重なるのではなかったっけ？いやむしろ頂点-頂点の軸の周りの方が180度回転させると同じ形になってる？

■６■しかし調べてみると、現今の定義ではやはりこの２つの立体は線心-線心の軸が２重回転対称軸であり、頂点-頂点の軸は４重回転対称軸になっている。歴史的に見れば、ガロアらにより群論の概念が導入される以前もこの違和感はあり、この２立体の２重回転軸を｢裏返しの対称性｣として捉えていたという。

■７■この２立体の２重回転対称の矛盾を解消するために、数学者達は視座の抽象化を断行した。面に接する多角形の種類を無視して、面の境界の構造のみを対称性の対象とし、立体が空間を占有する容積の形が回転で一致すればそれを対称軸と認める。この抽象化により２立体も同じ回転群に統合されたのだ。

■８■結果として他のプラトン立体やアルキメデス立体もこの定義に入ったが、逆側の図形が180度で手前に来ても最初と同じ形なので問題はなかった｡この入れ替わりの概念を、群論の遥か以前にケプラーは｢調和｣という言葉で宇宙の高次な秩序と捉えていたようだ。確かに多面体は２次元でなく３次元だった。

■９■違和感のあるものとして切り捨てていたら、共通言語に至ることなく独り善がりに沈んだだろう。この反対側で正３角形⇔正方形、正３角形⇔正５角形が入れ替わるという捉え方も、綿棒多面体の軸方向から光を当てて平面に射影するとその重なりが見え、再度３次元に復元して捉えることもできるのだ。

20260107 Wednesday