■１■12進法と60進法をまとめて表記する12-60進法の起源は､古代メソポタミアにあるとされている｡12進法は12を､60進法は60を底として数を表す方法だ。12には６つ(１,２,３,４,６,12)､60には12個(１,２,３,４,６,10.12,15,30,60)の約数があり､分割計算がし易く、現代でも時間や角度の単位に残されている。
■２■12進法の起源は１年を12カ月で捉える古代エジプトの暦法が天文学や黄道十二宮を用いる占星術などと融合し、また片手の親指以外の四指の３関節(３×４)で数を数え、様々な計測や度量衡に用いられたことによるとされている。60進法と組み合わさり、現代では時計の文字盤上の時･分･秒にも見て取れる。
■３■十干十二支は十干(甲･乙･丙･丁･戊･己･庚･辛･壬･癸)と十二支(子･丑･寅･卯･辰･巳･午･未･申･酉･戌･亥)を組み合わせた｢60｣を周期とする数詞で､誕生日の干支に還る60歳を還暦と言う。綿棒多面体好きなら、炭素原子60個からなる閉殻空洞状の切頂20面体(バッキーボール)であるＣ60フラーレンを想起する。
■４■ドリームスペルを創出して、13-20進法の暦を称揚した故ホゼ・アグエイアスは、現代文明を蝕み続ける悪しき計測法としてこの12-60的な時間計測法の世界観を否定した。しかし実のところ綿棒多面体を作り続けていると、どうしても12-60進法が時間に特化した数理であるとは思えなくなってきているのだ。
■５■今までの面構成の多面体では見えなかった内部構造や対称性が、線構成では透けて見えてくる。例えば５芒星正12面体の外側に正20面体を接続する時、12個の内部頂点から３角錐を20個立ち上げると、それらが５本ずつ集まった頂点20個が正20面体の頂点となる。シンプルに３×20＝５×12＝60本なのだ。
■６■星の種(小星型12面体ともいう)の頂点は正20面体形で12の頂点がある。この頂点を繋げば１辺１／φの小さな３角形と１辺１の大きな３角形が見て取れる。前者の頂点から20個の尖った３角錐を20個立てると、その頂点は１辺１の正12面体になる。そして使用した60本の綿棒は大星型12面体の形状になる。
■７■また星の種の１辺１の３角形から３角錐を20個立てると、頂点は１辺１／φの正12面体になる。これに５芒星を12個を乗せると、５芒星12面体になる。この５芒星12面体の各頂点から正４面体を20個立ち上げると、１辺１の20-12面体になる。この５角形から内側に５角錐を入れると頂点は正20面体になる。
■８■芒星12面体への接続も(３×20＝)60本だし、上に乗せた５芒星12個の綿棒も60本だ。そこから逆向きに立ち上げた正４面体のうちの接続部分は(３×20＝)60本であり、20-12面体の形となる部分も(３×20＝５×12＝)60だ。さらに５角形から内入れ込む５角錐もまた(５×12＝)60本だ。単純な数理が見える。
■９■これはほんの一例だが、基本的に５重対称性の立体を多重に接続する場合もその多面体自体も、使用する綿棒数は60かその倍数になっている。そして上述の１辺１単位の正20面体と正12面体の本数は共に30本であり、足して60本となる。では正６面体と正８面体は？最初から本体が12本で構成されている。
■10■では正４面体は？稜線数は６本だ。しかし双対立体もまた正４面体自身だから、例えば正４面体２つでケプラーの星型８面体にすれば当然12本だ。正４面体を２重でなく５重に自己相貫させると頂点(４×５＝)20個は正12面体となるし、中の５重の部分は正20面体になる。使った本数は(６×５＝)30本だ。
■11■そしてこの正４面体の５重自己相貫体には右巻き系と左巻き系があり、それを重ね合わせた10重自己相貫体も制作可能だ。本数はもちろん(６×10＝)
60本だ｡正６面体及び正８面体の５重自己相貫体というものも存在し、共に線要素は(12×５＝)60本だ｡なお前者は上に示した５芒星12面体と同じ形でもある。
■12■長くなったので一端終わりにしなくては。今回言いたかったことは綿棒多面体を制作していると、12-60進法は決して時間の計測や表現に特化した単位ではなく、３次元空間的にも遍在していると捉えたくなるということだ。10進法と12進法同様に、｢どちらか｣ではなく｢どちらも｣で更なる未知に進みたい。
(※)最初の４スタンザは時間の12-60の話なので、それを外せばいつも通り８連で済んだのだけれど、爺ぃ的老婆心だなあ。もちろんこれで終わりではないのだが(笑)。
20260108
Thursday
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