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■１■ここ何年か「直交３軸系の多面体だけでなく５重対称性の多面体も視野に入れて思考しなくては、現今の領域からはみ出して行けない」という類の表現をしてきた。直交３軸系のキモは正６面体と正８面体の相貫体から、３角錐と４角錐を全て取り払った後の共通部分の形がお馴染みのベクトル平衡体だ。

■２■同様に５重対称性の多面体の中でのキモは、正12面体と正20面体を重畳させた正８-６相貫体から､３角錐と５角錐を全て取り払った後に残る共通部分の20-12面体だ。プラトン立体は全部で５種あり､アルキメデス立体は13種あるが､中でもベクトル平衡体と20-12面体は特別に｢準正多面体｣と呼ばれている。

■３■重心を通る１本の軸を中心にして多面体を360度回転させた時､何度同じ形状になるかをｎ重回転対称性を持つという｡正６面体の線心-線心を貫く軸で回転させると２度重なり、頂点-頂点だと３回、面心-面心だと４回重なる。正12面体の面心-面心だと５回で、それぞれ２･３･４･５重の回転対称軸という。

■４■ベクトル平衡体は２重･３重･４重回転対称軸があり、一方20-12面体は２重･３重･５重回転対称軸がある。この２つの立体が他と少し異なる点を、この内の２重回転対称軸の貫点が真ん中にある稜線周りで見てみよう。他のアルキメデス立体は180度回転しても､線の両側の形はみな同じ多角形をしている。

■５■だがベクトル平衡体の軸のある線の両側は正３角形と正方形なので、半回転しただけではその両側の形は入れ替わるだけで重ならない｡20-12面体の方も線の両側は正３角形と正５角形なので､180度の回転では回転軸のある稜線の両側は同じ多角形にならない。それでもなぜ２重回転対称性と呼ぶのだろう？

■６■実は多面体は平面でなく立体だ。回転対称性を有するとは、局所だけでなく全体で回転するので、この半回転の時点での稜線を挟んだ正３角形と正方形または正３角形と正５角形は､立体の180度反対側の軸の対称的な位置に出現しているのだ。この２つの立体の２重回転対称性のみがこの定義を意識する。

■７■他のプラトン立体とアルキメデス立体は２重に限らず３重･４重･５重の回転対称性でも稜線の両側は同じ形なのだ。だから表面だけでも対称性を見て取れる。私たちは面のある立体の前面は見えるが裏側は見えない。だがスケルトンの綿棒多面体は反対側が見えるし、射影すればその対称性も見て取れる。

■８■正６面体と正８面体と正４面体を統合するベクトル平衡体を綿棒多面体で作り精査したとして、次は正12面体と正20面体の系やアルキメデス立体の何に進めば良いのだろう？色々迷っている人は取り敢えず20-12面体というもう１つのキモを押さえるという手もあるだろう。もう１つの準正多面体である。

20260105 Monday