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■１■切頂４面体はアルキメデス立体の一種で、正４面体を各稜線の１／３の位置で各頂点を切り落とした立体だ。頂点は12、稜線は18、面は正６角形４＋正３角形４の合計８面である。なお正４面体を各稜線の１／２の位置で切り落とすと、頂点６、稜線12、面は正３角形８のプラトン立体の正８面体となる。

■２■なお正４面体の双対立体は自分自身だが、この切頂４面体の双対立体は３方４面体という名のカタランの立体の一種だ。正４面体の各面の面心を持ち上げて、元々の正３角形が辺長比３：５の２等辺３角形３面になるようにした形の12面体だ。２等辺３角形の頂角は約112.89度、底角は約33.56度である。

■３■この切頂４面体を綿棒で作ってみよう。先日５芒星12つと６芒星４つからなる16面体(愛称は十六夜／いざよい)から取り除いた６芒星４つから作った四籠女(よつかごめ)の形は切頂４面体として見て取れる。綿棒の場合は頂点をペーパーセメントで固定した後、ボンドで接続するとかなり自在に変形する。

■４■多重に線の部分が重なるので、画像はより分かり易いように竹ひごで制作したもので示したものだ。文字で示したように左端は６芒星を４面組み合わせてできた切頂４面体(四籠女)であり、これをスライドして折り畳むことで色々と変形が可能だ。図では正４面体、正８面体、デルタ６面体を示してある。

■５■次に補強６本を入れた正６角形４面で表わした切頂４面体を見てみよう。ここではそれぞれの面心が分かるよう綿棒の頭に着色してある。この着色して示した頂点で示した面心を結ぶと１辺１の正４面体になる。また正４面体の星型８面体のように、この切頂４面体も逆向きの自身と自己相貫体が作れる。

■６■切頂４面体の自己相貫体を見る機会は余りないと思うが、シンプルにケプラーの星型８面体の８頂点を、直交する12本の稜線の上下１／３までの部分を切り取った形である。それぞれの面心を繋ぐと、１辺１単位のケプラーの星型８面体になる。そのことが分かるように図では内部のそれを着色してある。

■７■なお正20面体４つを、15本集まる結節点を調整して繋げることにより、正４面体構造にすることができる。図４はその頂点を繋ぐと正20面体になる星の種(１辺１単位の小星型12面体)を４つ連結した形の複合綿棒多面体だ。これもあまり見かけないものだろうから、分かり易いように４色に着色してある。

■８■また１辺１単位の正20面体も正４面体構造に接続させることができる。図５は四重星(よつえぼし)と名付けられた綿棒多面体で、内部は２重､３重､４重の重畳部分があるので、その関係が分かるよう内部はベビー綿棒２本を用いて表現してある。さらに内部の正４面体の実空洞の正20面体４つ構造もある。

20251204 Wednesday