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■１■固体の結晶構造とは別の原子クラスターという複雑な配列構造がある。
その相における12,14,15,16配位の原子を囲む領域は12,14,15,16面体であり、それぞれ12個の５角形と０,２,３,４個の６角形の面からなっている。これらの正12面体以外の５角形はほんの僅かだけ歪むがトポロジー的には変らない。

■２■これらのモデルを綿棒多面体として作ってみよう。まず１辺１単位の正５角形と正６角形で作る場合だが、正６角形は内部に平面的に６本を、正５角形は内部に５本を凹５角錐として補強する。なお16面体の正６角形は正４面体の４軸方向にあり、その中心点同士を繋ぐと状形は２倍体の正４面体になる。

■３■次にこのモデルを５芒星と６芒星で作ってみよう。全体の位置関係が分かりやすいように、６芒星を赤く着色してる。12面体はそのまま正12面体だが、６芒星の中心を繋ぐと14面体は線に、15面体は正３角形に、16面体は正４面体になることが分かる。それぞれみな12個の５芒星の接続形は異なっている。

■４■上図は16面体にケプラーの星形８面体にしたものだ。新しい４頂点はどこにも接続していないが、12面ある５角形の３面ずつが集まる点の真下に来る。なお面白いことに、この綿棒で作った５芒星と６芒星からなる16面体を見ると、その中にはベクトル平衡体(着色してある)が収まっていることもわかる。

■５■面数から｢十六夜(いざよい)｣と名付けられたこの16面体を、５芒星だけと６芒星だけの２つに分割してみよう。正４面体の位置にあった６芒星４面を組み合わせた切頂４面体を四籠女(よつかごめ)、それらが抜き取られて穴が開いた５芒星12面の立体を十二夜と呼ぶ。名前は愛称なので気にしなくてよい。

■６■これら｢四籠女｣｢十二夜｣｢十六夜｣と仮称された綿棒多面体と、先日作ってみた５芒星６つの頂点を重心に集めてできる｢星の巣｣は、基本的に全て直交３軸でなく正４面体構造の４軸を基本として重ね、合体することも可能だ。次回はこれらを１つ１つもう少し丁寧に見ていく予定だ。３と４で５に至ろう。

20251129 Friday