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■１■直交３軸系のプラトン立体は正６面体と正８面体であり、２者は面点変換すれば互いに入れ替わる双対立体だ。３次元空間において、正６面体は正８面体を介して２度面点変換することで体積比は１：27となる。４回繰り返せば１：27：729だ(逆方向も同じ)。つまり正６⇔正８⇔正６で３3＝27倍になる。

■２■メンガースポンジというものがある。100年前にカール・メンガーが発見した自己相似なフラクタル図形の一種だ。立体十字架のような内部の欠落部分は、上述の体積比１／27の正６面体が前後左右上下に移動した分だけ欠落している。この操作を２次３次…と無限に繰り返せる。穴の体積比は７／27だ。

■３■メンガースポンジは正６面体に一度穴を空ける毎にその体積は７／27ずつ減少するが、逆にマクロ方向に最初の正６面体を単位立方体として同じ形状を積み上げていく操作を考えよう。この３次元的なフラクタル展開の体積比は各フェイズ毎に１：20：400：8000…となって行く。つまり20進法的展開だ。

■４■｢wonders20｣という綿棒多面体がある。１つの正８面体の８面と12稜線から内側に正４面体を20個重畳して入れ込んだ形だ。そして｢20－20(twenty-twenty)という綿棒多面体は正20面体の各面から内側に正８面体を20個重畳して入れ込んだ形だ。この正８面体それぞれに正４面体が20個あると考えよう。

■５■綿棒の太さがあるので物理的に実作は不可能だが、この「正４面体in正８面体in正20面体」の個数は１、20、400となっている。言うまでもなくマヤの数詞には１(Hun),20(K'aal),400(Bal),8000(Pic)…と体系的な20進法がある。インドでは小学校１年で100までの数と20×20までの九九を学んでいる。

■６■ちなみにこの話のタイトルは「現今の10進法が２元面的思考で扱われているならば、20進法は４値論理的ではなかろうか？」というものだったが、結論まで行くのにかなり長い話が続くので途中で一旦停止した。シンプルに「20進法は２進法デジタルと10進法ナログのハイブリットでは？」でもいいかも。

20250808 Friday