青色が多角形の対角線、緑色が多角形の辺。７と８は分かりやすいよう重ねずに描いた。
■５芒星と多面体との関係を考えているうちに、正ｎ角形における直線数要素、すなわち「ｎ角形の本数ｎ＋ｎ芒星の本数＋ｎ芒星の対角線数(偶数のみ)」の和の数列は３角数になっていることに気がついた。(ただし第１項はなく、多角数とは１ずれている。)
３角形 ３本のみ
＝３
４角形 ４＋対角線２
＝６ 対角線開始
５角形 ５＋<５>
＝10 ｎ芒星１個開始
６角形 ６＋<６>＋対角線３
＝15 ｎ芒星１個＋対角線
７角形 ７＋<７>＋<７>
＝21 ｎ芒星２個
８角形 ８＋<８>＋<８>＋対角線４
＝28 ｎ芒星２個＋対角線
９角形 ９＋<９>＋<９>＋<９>
＝36 ｎ芒星３個
10角形 10＋<10>＋<10>＋<10>＋対角線５
＝45 ｎ芒星３個＋対角線
11角形 11＋<11>＋<11>＋<11>＋<11>
＝55 ｎ芒星４個
12角形 12＋<12>＋<12>＋<12>＋<12>＋対角線６
＝66 ｎ芒星４個＋対角線
13角形 13＋<13>＋<13>＋<13>＋<13>＋<13>
＝78 ｎ芒星５個
↓
（以下同様）
（※）３角数1, 3, 6, 10, 15, 21,
28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190,
210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465…
■正３角形と４角形(正方形)は多芒星ができない。５芒星と６芒星はそれぞれ１種類ずつ。７芒星と８芒星は１つ飛ばしと２つ飛ばしの２種類がある。９芒星と10芒星は１つ飛ばし・２つ飛ばし・３つ飛ばしの３種類となる。奇数と偶数の正多角形２つでワンセットで、多芒星の種類が増えて行く。
■多芒星は、多角形の各辺を延長して得られた交点を結んだ図形で、、平面幾何学では星型多角形とも呼ぶ。またこのような操作を星型化という。円周を等分化し、それぞれの点を１つ飛ばし以上で結んでも同様の図形が得られる。
■とうの昔に誰かが発見したことなのかもしれないが、自分で見つけ出すということに意味がある。人に教えられるのと、自分で見つけ出してそれに驚くことでは自らの深度が違う。しかし綿棒多面体の５芒星を平面幾何学に閉じ籠めておくつもりはないので、この件についてさらに深堀する暇はないため、今は捨て置く。
■なお「ｎ芒星」に関しては、以下のページにも記事を書いてある。
http://metalogue2.jugem.jp/?day=20191223
画像は https://id.fnshr.info/2015/12/29/year2016-h28-triangular/ より借用
2021.12.11
Saturday
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