#031　多面体の角の総和を整数比で見る
太陽系トポロジー�V(03)

■１■「多面体の各面の内角の総和」という表現をしたが、これはまた「多面体の表面の全ての角度の和」ということでもある。そして展開図を見ればわかるように、多面体には各頂点が平面から立ち上がるために周角360から切り取った角度（不足角）がある。全ての多面体の不足角の総和は720度である。



■２■プラトン立体を見直してみよう。正４面体、正６面体、正８面体、正12面体、正20面体の表面の角度の和は、それぞれ720度、2160度、1440度、6480度、3600度である。これらの数値も色々な数を連想できるが、この５立体の表面角の総和は14400度であり、５立体の不足角の総和も足せば18000となる。

■３■シンプルに360度で割ればこの倍の２，６，４，18，10となるが、各立体の数値を不足角の総和720度で割ると、１，３，２，９，５と整数比で見て取れる。これだけの数の組合せのみで、１?20までを生み出すことができる。５立体の不足角の720度を足して戻してみれば、２，４，３，18，10となる。

　　　

■４■次に13個のアルキメデス立体も同様に見てみよう。表面の角度の和は大きな数になるので、720度で割った数も合わせて見れば、図で示した通り3600（５）が２つ、7920（11）と28880（29）が４つずつある。そして10080（14）、16560（23）、42480（59）が１つだが、20・12面体の14以外はみな素数だ。

　　　

■５■さて13種のアルキメデス立体のそれぞれにもカタラン立体という13種双対立体がある。これらについても同様に表面の角度の総和を出してみた。こちらの方は３の倍数ばかりで、３，６，12が２個ずつ、15が３つ、そして18，30，45だ。これを2160で割ると、１，２，４，５，６，10，15という数になる。

2016.01.30 Saturday

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