#133　１つの中身は２つ…？

■フィボナッチ数列は「初項１、第２項１で、第３項以降は前２項の和とする」という、
非常にシンプルなルールから諸物を非常に豊穣かつ精緻に展開する。ところでがフィボナ
ッチが提示したこの問題の、初項と第２項に示される「１」という最小数の単位は「兎の
つがい」だが兎とすると「２」だ。

■フィボナッチの考案した問題は次のようなものだ。「つがいの兎は、産まれて２か月後
から毎月１つがいずつの兎を産む。兎が死ぬことはない。この条件のもとで、産まれたば
かりの１つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？」１つがいで生むとか、死なな
いととかの無理設定も仮定の問題設定である。

　　　

■「１，１，２，３，５，８，13，21，34，55，89，144…」これはつがいの数だが、兎
の数だとすると倍の「２，２，４，６，10，16，42，68，110，178，288…」となる。初
項２、第２項２という設定だが、これも隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比φに収束す
る。初項と第２項は、別に１である必要はない。

■ところで「第３項以降は前２項の和とする」というのルールはそのまま保持しつつ、最
初の２項を２、１に置き換えた数列の項をリュカ数という。「２, １, ３, ４, ７, 11,
18, 29, 47, 76, 123, 199…」と連なる。これも隣り合う数の比は黄金比φに収束する。
第２項の数を他の数に入れ替えてみよう。

　　　<1> <2> <3> <4> <5> <6> <7> <8>
(0) 　１，０，１，１，２，３，５，８…
(1) 　１，１，２，３，５，８，13，21…
(2)　 １，２，３，５，８，13，21，34…
(3) 　１，３，４，７，11，18，29，47…
(4) 　１，４，５，９，14，23，37，60…
(5) 　１，５，６，11，17，28，45，73…
(6)　 １，６，７，13，20，33，53，86…
(7) 　１，７，８，15，23，38，61，99…
(8) 　１，８，９，17，26，43，69，112…
(9) 　１，９，10，19，29，48，77，125…
(10) １，10，11，21，32，53，85，138…
(11)　１，11，12，23，35，58，93，151…
(12)　１，12，13，25，38，63,101，164…
(13)　１，13，14，27，41，68,108, 176…

■上表で、最上段の<n>は第何項かを示し、左端列の(n)は第２項に入れた数に等しい。第
１項は全て１である。これだけでツッコミどころ満載なのだが、全て語るわけにはいかな
いので少しだけ言及しよう。数列(1)はフィボナッチ数列である。数列(0)と(2)は、それ
より２項分右、及び左に１項分ずれたものだ。

■(3)はリュカ数の初項２を取り去った数列に等しい。以降数列は横に展開するが、全体
的に見ると、縦の各項に共通の性質が見えてくる。第２項と第３項は一つずれているが、
１ずつ加算されている。第４項、第５項、第６項、第７項…は２、３、５、８…ずつ加算
されている。１列ずれたフイボナッチ数列だ。

　　　

■見どころは多々あるが、ここでは(5)の数列つまり初項１、第２項が５の数列を見てい
こう。「１，５，６，11，17，28，45，73，118，191，309，500，809，1309…。」ここ
で最初に述べた兎のつがいを思い出して倍にすると「２，10，12，22，34，56，90，146
，236，382，618，1000，1618，2618…」となる。

■実はこの倍にした数列は「フュンク・ウレの数列」という名前がある。第12項を中心と
して、その先の項は1618、2618…となり、その前に戻ると618、382…となっている。つま
り黄金比φの累乗もしくはその逆数の小数点以下３桁までの1000倍になっているのである
。上表には他にも興味ある数が潜んでいる。

2015.07.09 Thursday

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