#010　「反転」について考えてみる（１）

■１■私は高校の２学期の成績表で、数学・化学・物理で揃って５段階評価の２を貰った
過去がある。そこそこの進学校だったのに、サッカー部で毎日死ぬほど練習していたので
、予習復習がほとんどできなかったのだ。毎日積み上げていく理系では取り返しがつかな
い。私が進路を文系に決定した瞬間だった。

■２■さて、円の反転を考えてみよう。理系の人には何を今さらだろう。しかし上述の如
く、私の思考は後で少しだけ独学したとはいえ、基本的に理系のシャープさはない。だが
ものは考え様。理系の人なら数式で即理解できるところを、蝸牛速で苦労しつつ体得する
様を共感共有できる人がいるかもしれない。

■３■初等幾何学の中には、反転という変換における図形の性質を考える「反転幾何」と
いうジャンルがある。平面上の反転変換は、写像が「等角性」と「円-円対応」を保つ。
なおこの円には「無限遠点を中心とする半径無限大の円と見做される直線」も含まれる。
この概念はより高次に一般化が可能である。

■４■円の内部にある赤点Ｐを円の外部に反転すると緑点Ｐ’になる。図でも分かるよう
に、円の中心点（原点）とＰ、Ｐ’は一直線になる。そしてこの場合、原点Ｏから２点ま
での距離の積は、この円の半径の２乗となる。つまり半径はこの２者の原点からの距離の
相和平均ではなく、相乗平均になっている。

　　　ＯＰ×ＯＰ’＝ｒ^２

■５■基準円による反転は例えば以下のような変換を見る。

　　　１−１：原点を通る直線は原点を通る直線に変換する。
　　　１−２：原点を通らない直線は原点を通る円に変換する。
　　　１−３：原点を通る円は原点を通らない直線に変換する。
　　　１−４：原点を通らない円は原点を通らない円に変換する。

■６■ちなみに円の中心点Ｏだけは、反転させる行き先が定義できないので「無限遠点」
という仮想の点に対応させる。この無限遠点を反転すると、円の中心点に戻ってくる。円
の中心に近ければ近いほど反転変換で遠くに写り、遠ければ遠いほど近くへ写る。そして
基準円の周上の各点は何ら影響も受けない。

2015.01.19 Monday

　　GO NEXT 　　ZONE-38 TOP 　　GO METATRON TOP