#263 改めて『数』について(1)

■１■「数」は数量を表すために用いられる抽象的な概念だ。この数を表すための記号・
文字が「数字」である。数はものの数量を数えるために用いられていた「自然数」から、
数の理解を深めゆく人類の歴史と共に順次拡張されてきた。負の数の平方根であるに負の
概念を加えることで正負の「整数」となる。

■２■ピュタゴラス派が隠し通したかった正方形の対角線√２を初めとする「無理数」は
、繰り返しのない無限小数である。この無理数とそれまでの「有理数」とを合わせたもの
が「実数」である。これにさらに代数方程式の解法を通じて、負の数の平方根である「虚
数」を加味した「複素数」へと拡張される。

■３■数の起源を考えるために、高度な現代数学から順次数の拡張を遡っていくと、最終
的に片手の中に見て取れる１，２，３，４、そして５までの自然数に辿り着く。これらの
数はぱっと見で瞬時に赤や青という色が分かる色覚ように、その数が幾つか直感的に分か
るもので最近では「数覚」と呼ばれている。

■４■さらに突き詰めれば、数は１と２に帰り戻る。もちろん１と２だけではもはや数で
はない。現代から遡って考えれば、最終的にこれは０と１に辿り着く。存在と無、もしく
はオンとオフの２進法にも通じるが、０を自然数に入れるか入れないかは集合論・論理学
等と、数論等ではその流儀が異なっている。

■５■私たちはこの違いをさほど苦も無く使い分けている。マヤ暦以外には０日０月０年
はなく、元年の元旦は必ず１年１月１日である。しかし空間を計測する時はまず０からス
タートして、基本単位まで来て初めて１となる。いわば年齢の数えと満の数え方だか、エ
レベーターの階数などは国によって異なる。

■６■数そのものについて最初に考えたのはギリシア人だとされている。数字か記号か何
か代用物を用いないと表現できない「１であること」という抽象概念を、プラトンは「１
のイデア」と呼んだ。マヤの基本単位である１キンは、１人の人間、１日、１年を表して
いる。１→２は分割、２→１は統合である。

■７■「道は一を生じ,一は二を生じ,二は三を生じ,三は万物を生じる。」『老子』42章
冒頭のフレーズだ。「１は２となり、２は３となり、第３のものから全一なる第４のもの
が生ずる。」 こちらは３世紀の女性錬金術師マリア・プロフェティサの公理だ。時代が
異なるが０と１から始まる数理を思わせる。

　　　

■８■単純な数比はいたるところに顔を見せる。まずは１：２：３から見ていこう。多く
の言葉を連ねるより、視覚的に提示してみよう。底面と高さが同じ円錐・球体・円柱の体
積比は１：２：３となる。この３立体を真上から見れば全て同じ大きさの円となり、また
真横から見れば３角形、円、正方形となる。

　　　

　　　

■９■次に１つの正６面体にぴったり収まる正８面体・正４面体・ケプラーの星形８面体
を見てみよう。この３立体の体積比は１：２：３となっている。正８面体は正６面体に内
接しており、正４面体の中接球に内接し、さらにケプラーの星形８面体の共有部分だ。正
４面体は正６面体と外接球を共有している。

2014.10.24 Friday

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