METATRONIC METALOGUE  
   

#172 ピュタゴラス音階から純正音階へ

■ピュタゴラスは2つの部分の弦長比が簡単であるほど、2つの音の響きはよく協和する
と結論づけた。彼は「万物の究極は数である」と信じていたので、音程は耳で判断するよ
り数で知的に判定すべきであると考えた。振動数と振動弦の長さが反比例することを知っ
ていれば、振動数だけで考察が可能である。

■ピュタゴラスは5度音程を積み重ねてはオクターブ下げる操作から、Cを基音とすると
〈C−D、D−E、F−G、G−A、A−B〉の5つの全音と、〈E−F、B−C'〉の
2つの半音からなる音階上の音程を算出した。仔細な説明は省くが、この半音を「ピュタ
ゴラスの全音階的半音」という。

■またこの結果元のF音とG音の中間に新しい音(Fisと呼ばれる)ができる。この音とF
との間に生まれた新しい音程を「ピュタゴラスの半音階的半音」という。この「ピュタゴ
ラスの全音階的半音」と「ピュタゴラスの半音階的半音」の和は1全音となり、差を「ピ
ュタゴラス・コンマ」という。

■ピュタゴラスの音階は8度と5度だけを使って構成されるので、その結果振動数は複雑
になる。1560年頃、ヴェニスのツァルリーノによってピュタゴラス音階に基づくテトラコ
ードの連結が修正された。このツァルリーノの音階とピュタゴラスの音階を振動数比で比
較してみると次のようになる。

           C  D  E   F   G  A   B   C’
  ツァルリーノ音階 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8  2
  ピュタゴラス音階 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

■ツァルリーノ音階の3度音、4度音、5度音、6度音は主音との間に簡単な振動比を作
っている。そして2度音と7度音の2つも、主音ともっとも深い関係の属音との間に簡単
な振動比を作っている。振動比が互いに簡単な関係の音は、同時に鳴らすと共和音を作る
。これは一般に純正音階と呼ばれている。

■この2つの音階は2度音、4度音、6度音、8度音において等しいが、3度音、6度音
、7度音においてはピュタゴラス音階の方が振動数比にして81/80ずつ高い。この音程は
シントニック・コンマという。ピュタゴラス音階の3度(81/64)とツァルリーノ音階の長
3度(5/4)との差(=81/80)である。

■ピュタゴラス音階の3度(81/80)とツァルリーノ音階(純正律)の長3度(5/4)の差は
、通分すると81/64と80/64である。この81と80のずれが、この2者のずれ。ところで
1/81および80/81は以下の通り。

  1/81=0.012345679… (小数点以下9桁繰り返しの循環小数)
  80/81=0.9876543210… (小数点以下10桁繰り返しの循環小数)

■なおピュタビラス音階の3度の比は81:64(=3^4:4^4)だが、この比の和は=3^4+
4^4=144+1=12^2+1=145である。一方80:64は144である。

2014.07.05 Saturday

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