#172　ピュタゴラス音階から純正音階へ

■ピュタゴラスは２つの部分の弦長比が簡単であるほど、２つの音の響きはよく協和する
と結論づけた。彼は「万物の究極は数である」と信じていたので、音程は耳で判断するよ
り数で知的に判定すべきであると考えた。振動数と振動弦の長さが反比例することを知っ
ていれば、振動数だけで考察が可能である。

■ピュタゴラスは５度音程を積み重ねてはオクターブ下げる操作から、Ｃを基音とすると
〈Ｃ−Ｄ、Ｄ−Ｅ、Ｆ−Ｇ、Ｇ−Ａ、Ａ−Ｂ〉の５つの全音と、〈Ｅ−Ｆ、Ｂ−Ｃ'〉の
２つの半音からなる音階上の音程を算出した。仔細な説明は省くが、この半音を「ピュタ
ゴラスの全音階的半音」という。

■またこの結果元のＦ音とＧ音の中間に新しい音(Fisと呼ばれる)ができる。この音とＦ
との間に生まれた新しい音程を「ピュタゴラスの半音階的半音」という。この「ピュタゴ
ラスの全音階的半音」と「ピュタゴラスの半音階的半音」の和は１全音となり、差を「ピ
ュタゴラス・コンマ」という。

■ピュタゴラスの音階は８度と５度だけを使って構成されるので、その結果振動数は複雑
になる。1560年頃、ヴェニスのツァルリーノによってピュタゴラス音階に基づくテトラコ
ードの連結が修正された。このツァルリーノの音階とピュタゴラスの音階を振動数比で比
較してみると次のようになる。

　　　　　　　　　　 Ｃ　 Ｄ 　Ｅ 　 Ｆ 　　Ｇ 　Ａ 　　Ｂ 　 Ｃ’
　　ツァルリーノ音階 １ ９/８ ５/４ ４/３ ３/２ ５/３ 15/８ 　２
　　ピュタゴラス音階 １ ９/８ 81/64 ４/３ ３/２ 27/16 243/128 ２

■ツァルリーノ音階の３度音、４度音、５度音、６度音は主音との間に簡単な振動比を作
っている。そして２度音と７度音の２つも、主音ともっとも深い関係の属音との間に簡単
な振動比を作っている。振動比が互いに簡単な関係の音は、同時に鳴らすと共和音を作る
。これは一般に純正音階と呼ばれている。

■この２つの音階は２度音、４度音、６度音、８度音において等しいが、３度音、６度音
、７度音においてはピュタゴラス音階の方が振動数比にして81／80ずつ高い。この音程は
シントニック・コンマという。ピュタゴラス音階の３度(81／64)とツァルリーノ音階の長
３度(５／４)との差(＝81／80)である。

■ピュタゴラス音階の３度(81/80)とツァルリーノ音階（純正律）の長３度(５/４)の差は
、通分すると81/64と80/64である。この81と80のずれが、この２者のずれ。ところで
１/81および80/81は以下の通り。

　　１／81＝０．012345679…　（小数点以下９桁繰り返しの循環小数）
　　80／81＝０．9876543210… （小数点以下10桁繰り返しの循環小数）

■なおピュタビラス音階の３度の比は81：64(＝３^4：４^4)だが、この比の和は＝３^4＋
４^4＝144＋１＝12^2＋１＝145である。一方80：64は144である。

2014.07.05 Saturday

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