#012　惑星グリッドと重なる６方20面体

■惑星グリッドは正20面体と正12面体の相貫体の頂点をつないでできる菱型30面体の各面を４分割した形の120面体である。アルキメデス立体に斜方切頂20・12面体という立体がある。そしてその双対立体である６方20面体（hexakis icosahedron）が惑星グリッドと同型対応することはあまり知られていない。

■６方20面体(別名２重２方30面体)は点62、辺180、そして同型の120枚の面という要素からなる。しかしそれらの面は直角３角形ではない。ほぼ直角だが直角ではない88.99度、そして58.24度、32.77度の３角からなる不等辺３角形である。なお３辺の辺長比は１：{3(3＋√5)}／10：(7＋√5)／5である。

　　　

■５種類のプラトン立体は知っていても、13種類のアルキメデスを全て知っている人は多くないが、正方形30枚・正６角形20枚・正10角形12枚からなる斜方切頭20・12面体という立体がある。120の各頂点に正方形、正６角形、正10角形がそれぞれ１枚ずつ集まる形で、外接球半径は{√(31＋12√5)}／2だ。

惑星グリッドの元となる菱型30面体の双対立体は20・12面体だが、ちょうどこの頂点を切り取ったような形をしている。そしてこの20・12面体が菱型30面体の双対立体であると知っていれば、球面に投射する前の惑星グリッドがこの６方20面体と同型対応できるというのは良く分かるのではなかろうか。

　　　

　　　　　　　　　　　　　（※）上の多面体の元画像はWikipediaから借用して加工しました。

■斜方切頭20・12面体の各面心を点にしてつなぐ（面点変換する）と６方20面体になる。また20・12面体各頂点の位置を少しずつ削っていくと、右の斜方切頭20・12面体になります（正確にはもう少し精密な解説が必要なのだけれど）。そして６方20面体を球面に射影すると、惑星グリッドＵＶＧ120となる。

　　　

■正20・12面体の頂点をつなぐと菱形30面体となり、角錐部分を全て取って共通部分は20-12面体となる。この２者は双対立体でもある。正12面体と正20面体⇒相貫体⇒菱形30面体と20-12面体⇒惑星グリッド（６方20面体）と斜方切頭20・12面体…この関係の連鎖のキーワードは５重対称性。

2014.01.13 Monsday

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