#241　同一素材の正12面体と20−12面体

■先日は綿棒60本で５芒星を12個作って、それをつなぎ合わせて正12面体を作った。今日は同じように綿棒で60本５芒星を12個作り、それをつなぎ合わせて20−12面体を作ってみた。それは上手くいったのだけれど、これに60本加えてさらなる多面体を作り、さらにあと60本加えて多層にしてみて、どんな多面体になるかと試してみた。斜方20・12面体になった。

■３次元空間では１つの球体に同じ大きさの球体が最大12個接する。最密パッキングだ。しかし多面体に関して言えば、空間の方向性としては12方向なんだけれど、ベクトル平衡体ではなく、正12もしくは20面体の系での多重層化なんだよね。ベクトル平衡体のまま拡大していくこともできるけれど、空間をぴっちり充填していくけれど、黄金比は出てこない。

■12個の同型球体がベクトル平衡体の形状でぴったり外接している中心の球体を、すぽんと抜くと各頂点の位置にあった12球体が、全体として少しだけ回転して収縮して正20面体の形となる。受精卵が１−２−４−８−16−32…と分裂して成長していく時、５回目の分裂で32胞になった裁細胞は回転しながら切頭20面体の形になる。このとき黄金比が入り込む。

■だから綿棒で多重多層に作り上げていく時、かすく部位も全体として対称性を持ちつつ回転しゆくセインでもある（５×12＝）60本が基本になっているのである。空間展開に５重対称性、すなわち黄金比が刻み込まれているんだよね。図は同じ画像に補助線を入れて、正12面体と20−12面体の違いを示してみたものだ。

　　　

■別のアイテムで表現すれば、このような関係でもある。各頂点が回転しながら開いていることに注目。

　　　

■ちなみにこのアイテムはマックスまで回転展開すると、こうなる。綿棒多面体ワークの時などに持っていくと、実は子供さんたちに大人気。よくわかっていらっしゃる(^^)。

2013.12.11 Wednesday