#161 0と1と2…3以前の数

■1■数は数学や科学や数秘術の中にあるのではない。それらに制限されることなく数について考えることは、誰にでも可能だ。0は整数であり、有理数であり、実数である。0は正数でも負数でもなく、その中間にある。0は素数でも合成数でも単数でもない。しかしそれでも0は奇数ではなく偶数である。

■2■数学の限定されたジャンルのみに有効な0に関する定義は、いわゆる業界言葉に等しい。少なくともそのジャンルに関わる者にとって、そのジャンルの利便性のための部分的定義と、より広い一般的語義との差異を、哲学的思考により明確化しゆく努力を為そうとしないことは、大いなる職務怠慢である。

■3■0を自然数に含めるかどうかは数学者の間でも考え方は分かれている。日本では高校までは自然数に含まないが、理系の大学教育では自然数に含むものとして取り扱うことが多い。つまりまだ明確に決定されていないので、必要な場合はその都度断ることになっている。私たちも個人で決めればよいのだ。

■4■なお数を数える時に、その概念や体系によって0から起算するものと、1から始めるものとが混在している。距離、満年齢、周年、時刻などは前者であり、数えの年齢や日付は後者である。つまり0時0分0秒はあるが、0年や0月や0日は存在しないのだ。位取り数記法では0は空位を表す数である。

■5■0は空であり無でありあらゆるものの不在に対応するが、0は0だけでは意味を成さない。0でない何かとの対比によって初めて0が数となる。0ではない何かの最少単位が1である。0と1と聞くと、多くの人が先ずは現代文明の根幹の1つ、オフとオンの2進法的なテクノロジーを連想するだろう。

■6■0と1はまた空無と全一、虚無と実在、あるいは空間と物質、図と地のように、存在態そのものの対概念とも解せられる。しかし正でも負でもなく、単数でも複数でもない0は、+方向にも−方向にも果て見えず連なる数の全体との対であり、実数や有理数の中に開いた、点的存在の穴のようでもある。

■7■1は最も原初的な存在を表す数であり、ものごとを測る最初の単位である。1は自然数のうちで最小の奇数である。現代では1は素数でも合成数でもなく、単数であるとされる。1は1自身の階乗であり、また1自身の自乗でもある。0以外の任意の数の0乗は1である。また0の0乗は定義されない。(
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■8■通常の整数に0を何度足しても、また1を何度掛けても、元の数に変化はない。0を加法における単位元、1を乗法における単位元と言う。数の累乗において、指数が0の場合は必ず1となる。1と1の間で四則計算をすれば、差は0、積は1、商も1だが、和だけが自らを超えて2となることができる。

■9■0と1を思考によって、実在の世界の数に対応させると1と2になる。このずれは年齢を満で数えるか数えでカウントするか、また天文学者がBC1年を0年とカウントするかの差異に似て、思考する側の問題であり(正逆両方向のスライドがあり得る)、0,1,2そのものの本質とは関わりがない。

■10■1と1はフィボナッチ数列の初項と第2項である。1と3と勘違いする人もいるが、2と1がリュカ数列の初項と第2項である。数は3から始まるという表現にとって、1と2はアプリオリであり、そしてこの関係は0と1に逆スライドする。0は別の数理世界に通じているようにも思える特異点である。

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()ただしコンピュータにおけるいくつかのプログラミング言語は0の0乗を1と定義している。

2013.07.30 Tuesday