#161　０と１と２…３以前の数

■１■数は数学や科学や数秘術の中にあるのではない。それらに制限されることなく数について考えることは、誰にでも可能だ。０は整数であり、有理数であり、実数である。０は正数でも負数でもなく、その中間にある。０は素数でも合成数でも単数でもない。しかしそれでも０は奇数ではなく偶数である。

■２■数学の限定されたジャンルのみに有効な０に関する定義は、いわゆる業界言葉に等しい。少なくともそのジャンルに関わる者にとって、そのジャンルの利便性のための部分的定義と、より広い一般的語義との差異を、哲学的思考により明確化しゆく努力を為そうとしないことは、大いなる職務怠慢である。

■３■０を自然数に含めるかどうかは数学者の間でも考え方は分かれている。日本では高校までは自然数に含まないが、理系の大学教育では自然数に含むものとして取り扱うことが多い。つまりまだ明確に決定されていないので、必要な場合はその都度断ることになっている。私たちも個人で決めればよいのだ。

■４■なお数を数える時に、その概念や体系によって０から起算するものと、１から始めるものとが混在している。距離、満年齢、周年、時刻などは前者であり、数えの年齢や日付は後者である。つまり０時０分０秒はあるが、０年や０月や０日は存在しないのだ。位取り数記法では０は空位を表す数である。

■５■０は空であり無でありあらゆるものの不在に対応するが、０は０だけでは意味を成さない。０でない何かとの対比によって初めて０が数となる。０ではない何かの最少単位が１である。０と１と聞くと、多くの人が先ずは現代文明の根幹の１つ、オフとオンの２進法的なテクノロジーを連想するだろう。

■６■０と１はまた空無と全一、虚無と実在、あるいは空間と物質、図と地のように、存在態そのものの対概念とも解せられる。しかし正でも負でもなく、単数でも複数でもない０は、＋方向にも−方向にも果て見えず連なる数の全体との対であり、実数や有理数の中に開いた、点的存在の穴のようでもある。

■７■１は最も原初的な存在を表す数であり、ものごとを測る最初の単位である。１は自然数のうちで最小の奇数である。現代では１は素数でも合成数でもなく、単数であるとされる。１は１自身の階乗であり、また１自身の自乗でもある。０以外の任意の数の０乗は１である。また０の０乗は定義されない。(※)

■８■通常の整数に０を何度足しても、また１を何度掛けても、元の数に変化はない。０を加法における単位元、１を乗法における単位元と言う。数の累乗において、指数が０の場合は必ず１となる。１と１の間で四則計算をすれば、差は０、積は１、商も１だが、和だけが自らを超えて２となることができる。

■９■０と１を思考によって、実在の世界の数に対応させると１と２になる。このずれは年齢を満で数えるか数えでカウントするか、また天文学者がＢＣ１年を０年とカウントするかの差異に似て、思考する側の問題であり（正逆両方向のスライドがあり得る）、０，１，２そのものの本質とは関わりがない。

■10■１と１はフィボナッチ数列の初項と第２項である。１と３と勘違いする人もいるが、２と１がリュカ数列の初項と第２項である。数は３から始まるという表現にとって、１と２はアプリオリであり、そしてこの関係は０と１に逆スライドする。０は別の数理世界に通じているようにも思える特異点である。

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(※)ただしコンピュータにおけるいくつかのプログラミング言語は０の０乗を１と定義している。

2013.07.30 Tuesday