#108　コッホ曲線とコッホ雪片とベシカパイシス

■１■３と４を元にした最もシンプルなフラクタル図形に「コッホ曲線」というものがある。３等分した線分の真ん中の部分を２倍長にして60度立ち上げるという簡単な操作をすると、結果として全体は最初の４／３の長さになる。この操作を分割された各線分に繰り返す事で得られる図形のことだ。再帰処理を繰り返すと自己相似図形はどんどん小さくなっていき、何度か繰り返すうちに細部が見えなくなる。

■２■気がつけばこの長さは途中から目の前の図形から、いつの間にか頭の中の概念へと移ってしまうのだが、数学的に表現すれば発散して無限大になってしまう。長さがなくなってしまうと表現した方がいいかも知れない。フラクタル次元はlog４／log３＝1.26186…次元である。繰り返しで自己相似図形が増殖するという意味では一意で自己言及でもあるのだが、自己言及による分割はどんどん小さくなっていく。

　　　

■３■自己言及は不完全であるということまで読みとるのは拡大解釈に過ぎないだろうが、３から４への操作（正確には１を４／３にという操作だが）を繰り返すだけで無限大になるということだ。 「コッホ雪片」というものもある。正３角形の各辺をコッホ曲線にする操作を考えてみよう。第２段階で向きが逆の正３角形の自己相関の図形になる。つまり真ん中に正６角形の部分がない６芒星の形になるのである。

■４■最初は面積も４／３となっている。この操作を繰り返すと、周囲の長さが無限になるのに、計算ではコッホ雪片の面積は1.6になるのだ。周囲の長さが発散するのに、内部の面積は収束するということだ。３分割して４倍する操作は中国の三分損益法やピュタゴラス音階の作り方にも似ている。コッホ曲線は３と４の関係と表現したが、その真ん中部分だけを見ると１と２の関係でもある。

　　　

■５■コッホ曲線をベシカパイシスに重ねると図のようになる。この各円を半径１の単位円とすると、下図左のコッホ曲線の長さは３から４となる。この曲がった４を伸ばして対円の直径を貫く直線として示したのが下図右である。３単位長がコッホ曲線の４単位長となることを示した。一番下の折線はこれをホロニックに表したもので、同じ４単位長である。

■６■ここであえてベシカパイシスに乗せて順次高速成長くする尺取虫に喩えて図示したのは、コッホ曲線が細分化する一方の自己相似図形を再帰的に繰り返すだけなのに対して、対円をベシカパイシスに変形させて貫通直径として４→３とする可逆的操作も普通に考えられるからである。つまり正３角形自体をコッホ曲線の部分と考えたり、普通の線分をコッホ曲線の部分として見て取ることもできるのである。

　　　

■７■すなわち最初の線分自体がコッホ曲線の部分であり、かつそれは双方向に展開されていると考えることによって、眼前のコッホく曲線化とその逆化とが「３⇔４」の現場であるということ、双方向性を同時に見ることによって３＋１＝４だけでなく、４−１＝３及び３＋４＝７、３×４＝12、４／３及び３／４もそこに見ることができるのである。ベシカパイシスの中に最初から４が存在するとも考えられよう。

■８■ベシカパイシスの内部には√１＝１、√２、√３、√４＝２、√５という虚数ペンターブが見て取れるばかりでなく、今見た通り１、２、３、４という実数のペンターブも見て取れるということだ。辺長比３：４：５の直角３角形から５も得られよう。なおこのコッホ曲線のフラクタル次元であるlog４／log３＝1.26186…次元が１＋φ２／10＝1.2618034…に近似しているということも興味深いことである。

2013.06.06 Thursday