#106　サークルゲノムの立体化

■１■サークルゲノム。半径１の単位円の中に半径１／２の円を内接させると、そのすき間に半径１／３の円がぴったり収まった。そしてこの３円の中心を結ぶと辺長比３：４：５の直角３角形ができた。この３角形の中にぴったり収まる円の半径は１／６で、半径１／２と１／３の円がつくるさらなるすき間に収まる円に等しい。この半径１／６の円の中心は半径１／２と１／３の円の中心と直交で繋がっている。

■２■ここで最初の単位円の直径を12としてみよう。すると半径１／２の円の半径は３、半径１／３の円の半径は２、半径１／６の円の半径は１となる。また辺長比３：４：５の直角３角形の数値はそのまま保持される。つまり１：２：３：４：５が出揃い、さらに直径を考えれば６，８，９も導き出せる。またこの図の４か所に収まる半径１／６の円の中心を繋ぐと６×８の長方形ができ、この対角線から10も得られる。

　　　

■３■ではこの平面で描かれたサークルゲノムを３次元に起こしてみよう。大球の半径は６、中球の半径は３、小球の半径は２、単位球の半径は１となる。大球の体積は288π、中球の体積は36π、小球の体積は32π/3、単位球の体積は４π/3となり、４球の体積比は216：27：８：１となっている。半なお大球の中に中球は最大２つ入り、小球は最大13個入る。なお中球２個の時はそのすきまに小球が６個入る。

■４■「大球、中球２個、この２者の差」の体積は<288、72、216>である。したがってこの３者の体積比は<４：１：３>である。また「大球、小球13個、この２者の差」の体積は<288、416/3、448/3>である。したがってこの３者の体積比は<27：13：14>である。まさらに「大球、中球２個と小球が６個の和、この２者の差」の体積は、<288、136、152>である。したがってこの３者の体積比は<36：17：19>である。(※1)

　　　

■５■次に大球の中で中球をぐるりと回してできる中トーラスの体積は54π＝169.646…であり(※1)、大球との差は118.354…である。また中トーラスと小球２個との体積の和は190.979…であり、大球との差は97.021…である。同様に小球をぐるりと回してできる小トーラスの体積は32π＝100.531…であり、大球との差は187.469…である。小トーラスと中球２個との和は172.531…で、大球との差は114.469…である。

■６■大球：中トーラス＋２小球：２者の差＝288：190.979：97.021≒３：２：１であること、及び大球：小トーラス＋２中球：２者の差＝288：172.531：114.469≒５：３：２であることは注目していいだろう。なお２中球に巻きつく小トーラスの外側に単位円をぐるりとまわすと単位トーラス対ができる。さらにそれ以降もより小さなトーラス対が順次はまり込んでいく。トーラスの体積は２π２ｒ２Ｒで求められる。

　　　

■７■サークルゲノム及びその立体化した形態は、直交するトーラスモデルの次元断面として捉えることができるのではなかろうか？対称性の多重構造がどのようにそれぞれをプロットしていくかにもよるが、単位円内の中円の片方と、単位円のそとの全てが、単位円の残りと対の関係にあることを見極められる、１つの特異点の視座から眺めているのではないか。そして回転という相互関係がさらに対称性を高める。

■８■またここでは12／πという数を大円の直径とすることで、πを１つ相殺させて整数化させてみたが、１／πすなわちπの逆数とはどのような意味を持つのだろう？「無理な道筋を行く必要がないように結び目を作る、かみあうための未知数」として定義してみた。単位円及び単位球の内部での数と形を見やすくするために、１／πを用いたということだ。πのπ乗は36.4621…である。暦とも関係が出てくる。

　　　

■９■直交トーラスそのものの中に小球と表現した大球の１／３半径の球体を入れると、全部で12個が収まる。片方の小トーラスに６個入り、そのうちの１個はもう片方の小トーラスの中心穴に収まっている。もう片方の小トーラスもまた同じである。その６個ずつの小球にぬ１〜６の番号を振ってみた。ちょうど図は１の番号の小球対が互いの穴の中に収まっている。以下、番号順に位相を揃えて回転すれば同期する。

■10■この場合、対の仮に小トーラスをＡとＢとすると、トーラスＢが一方的にトーラスＡを回転しているようにも見え、逆に静止しているトーラスＢの上を一方的にトーラスＡが回転しているようにも捉えられる。問題は視座をどこに置くかで異なる。しかし双対トーラスの外に出ても、視座の特異点を見い出さねば互いが互いを回転しているのか否かは分からない。重心点はトーラス対の回転する中心に１つある。

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（※１）煩雑さを避けるために、この大円直径を12／πと考えることでπを抜いてある。

2013.06.04 Tuesday