#061　太陽系トポロジー紙芝居（１）

（Ａ）水星と金星の軌道を形で見る

■１■数は３から始まる。３つの小円をぴったりつけると図のような形になる。この３つの円の中心をつなぐと正３角形になる。この正３角形の外接円を青で示し、３つの小円の外接円を赤で表した。この図の青円と赤円の比は１：１＋(√３)／２＝１：1.866…である。

■２■太陽系の第１惑星・水星の平均公転軌道半径は5791万kmであり、第２惑星・金星の平均公転軌道半径は１億0821万kmである。この２つの平均軌道の比は１：1.868…である。つまり青と赤の円の関係は、水星と金星の平均公転軌道の関係と同型対応できる（99.9％）。

　　　

（Ｂ）金星と地球の軌道を形で見る

■３■金星の平均軌道に対応させた赤円の円周を８等分して正８角形を作り、その１辺が直径の小円を図のように８つ描く。そしてこの８つの小円をすっぽり包み込む３番目の緑円を描く。

■４■太陽系の第３惑星・地球の平均公転半径は１億4960万kmである。金星は１億0821万kmだから、この２者の比は１：1.3825＝0.7233：１である。この赤円と緑円の関係は、金星と地球の平均軌道に相当することになる（99.99％）。

　　　

（Ｃ）金星と地球の軌道を別の形で見る

■５■別の見方をしてみよう。先ず１つの正方形を描く。そしてその内接円を赤で描き、外接円を緑で描く。するとこの赤と緑の２つの円は金星と地球の平均公転軌道の関係と相似の図形になる。この２者の比は１：√２＝１：1.41421356…である。

■６■この値は先の８つの円環状の小円での比より厳密ではないように見える。ところで金星の近日点は107.48×10^6kmであり、地球の遠日点は152.10×10^8kmである。この２者の比は１：1.414216598…だから、これに同型対応視すればぴったりになる。(99.9998％)

　　　

（Ｄ）水星と地球の軌道を形で見る

■７■８芒星を１つ描く。その内接円と外接円を描くと、この２つの円が水星の平均軌道と地球の公転軌道に同型対応する。なおこの比率は水星と地球の惑星本体の直径比にも等しい。水星の赤道直径は4,879.4km、地球の赤道直径は12,756.3kmである。

■８■５芒星を１つ描く。その外接円を緑で描く。そしてこの５芒星の中にできる正５角形に外接する円を青で描く。するとこの緑円と青円の比もまた、地球と水星の平均軌道及び直径比に等しい。（99.5％）なおこの正５角形に内接する円は水星の近日点軌道の直径に等しい。
　　　
（Ｅ）３内惑星の軌道を形で見る

■９■この３円で水星・金星・地球の平均軌道の関係が描けた。この３惑星の軌道は上述した関係から様々に表現できるが、図は３つの小円の中心点を結んだ円（青）と、その外接円（赤）、そしてその外接円上に円環状に配した８つの別の小円群の外接円（緑）で表現したものである。

■10■なおマヤにおける「動きと計測を与える唯一の存在」という意味の重要な概念『フナプ・ク』を幾何学的に表すと円とそれに内接する正方形となる。この直径と１辺との比はマヤの神聖暦ツォルキン260と農耕歴ハアブ365の比1.40384…にも近似している。
　　　

（Ｆ）地球と火星の軌道を形で見る

■11■最初に円を３つ集めて軌道を見たが、今度は４つの円を集めてみよう。この４つの円に外接する円を橙色で描く。するとこの橙円と４つの円の間に４つの小円が収まる。この４つの小円に内接する円を緑色で描く。この２円の直径比は３−√２：１＋√２＝１：1.5224である。

■12■太陽系の第４惑星・火星の平均軌道半径は227,936,640kmである。地球のそれは149,598,8706kmだった。この２者の比は１：1.5235となる。これを図の緑円と橙円の比と較べると誤差は0.0007ほどしかない。つまりこの図の関係は火星と地球の平均軌道の関係と相似形なのである。

　　　
（Ｇ）４内惑星の軌道を形で見る

■13■この図はこれまでの関係を重ねてみたものだ。青円・赤円・緑円・橙円はそれぞれ水星・金星・地球・火星の平均軌道を表している。ボーデの法則でざっくり表すと４、７、10、16となり、天文単位だと0.38710AU、0.72333AU、1.00000AU、1.52368AUである。

■14■この４つの小円と中心に収まっている小円の大きさは同じである。３と４は古来より様々に捉えられ語られてきたが、正６面体と正８面体の面の形、及び点−点の回転対称軸を連想させる。中接球を共有する正６面体と正８面体の体積比もまた３：４である。

2012.05.04 Friday