#049　綿棒を用いた多面体世界の探索（２）

■11■正５角柱は２つの正５角錐と５つの正４角錐からなっている。正５角柱から５つの正４角錐を取りはらうと上下の正５角錐部分だけが残る。この２つの正５角錐をひっくり返して１つに繋げた形が、正３角形面10面からなるデルタ10面体だ。なおデルタ８面体は正８面体、デルタ20面体は正20面体である。

　　　

■12■逆に正５角柱から上下２つの２つの正５角錐を取りはらうと５つの正４角錐が残る。ところで正４角錐は正８面体を２つに分断した形でもある。このことを視覚的に分かり易く表現するために、５つの正８面体を回転可動するよう環状につなぎ、円柱状にして正５角錐に重ねてみたのが右側画像である。

　　　

■13■この緑色の５連の正８面体環は、正20面体の20の正３角形の面がそれぞれ正８面体に接すること、この外側に順次多面体を加えて最終的にバッキーボール（切頭20面体）になることを自分で納得するために、10年ほど前に製作してみたものである。この５連の正８面体環は正20面上を舐めるように転がる。

　　　

■14■このままバッキーボールの製作とその内部構造まで突き進むと、すでに独り善がりなのに独り善がりの２乗にならぬよう、再び綿棒によるトーラス多面体の話に戻らねば。twitterと違ってfacebookは図と共に字数も制限なく思考の転石に苔生やしつつ進んでます。不快な人は申し訳ないけれどスルーしてね。

　　　

■15■上下２つの正５角錐対をひっくり返すとデルタ10面体になる。このデルタ10面体を２分割してその間に反５角柱（つまり上下の正５角形と交互に連ねた正３角形10面からなる立体）を入れると正20面体になる。しかしデルタ10面体の中に正５角柱を入れても正方形と正３角形からなる15面体にしかならない。

　　　

■16■正５角柱は５つの正５角錐からなると言ったが、５つの正８面体を重心の１点に集めた形は、外側に凹部を作る。また正４面体を２つくっつけた形は、正３角形が６面のデルタ６面体と言う。このデルタ６面体は、この５つの正８面体が作る凹部にぴったり収まる。（109.5度×２＋90.5度×２＝360度）

　　　

■17■多角形は３角形からであり、２角形１角形及び２角形は存在しない。同様に角錐もまた３角錐から始まる。辺長が全て等しい正多角錐は正３角錐、正４角錐、正５角錐しか存在しない。正６角錐にしようとしても辺が集まる頂点が底辺の正６角形の中心から立ち上がれず、平面になってしまうからである。

　　　

■18■正６角錐は平面の６つの正３角形になってしまうが、そのそれぞれの正３角形面に正３角錐を立ててみよう。３つを１つ置きに立てると、その３頂点を繋げばベクトル平衡体の半分の形になる。右図は６つ全ての正３角形に正３角錐を立ててみた形であり、頂点を繋ぐと小さな正６角形になっている。

　　　

■19■６つの正３角錐（＝正４面体）を立てた形を真上から見ると、麻の幾何学的文様にも見える。単位長で頂点をつなぐと１つ置きにつながって正３角形となる。また残る３頂点も同様につなぐと、結果として単位長の６芒星となる。この３つの正４面体を下向きに反転すると全体がベクトル平衡体となる。

　　　

■20■さてこの６角形上に６頂点が６芒星を作る立体には、さらに上方に６芒星から２重の正４面体を伸ばすことができる。しかしそれは均衡を欠いたバベルの塔のように幻の方向展開だ。２重の正４面体の片方側のセットを下側に反転させることで対称性が得られる。取りあえず片側だけでも反転してみよう。

　　　

■21■これで上向き由来と下向き由来の半分ずつのベクトル平衡体が合体して１つのベクトル平衡体の完成だ。めでたし、めでたし…とここで話が終わるわけではない。単位長の稜線が互いに届かない正７角形以降への道もまた断たれている。ではどのようにして話は続くのか？ここで正５角錐系の登場である。

2012.04.16 Monday