#048　綿棒を用いた多面体世界の探索（１）

■１■綿棒による多面体は全ての線及び内部の支持構造がみな同じ長さで構築されるところに特徴がある。この綿棒の結合する点は空間におけるエネルギー結節点と捉える事ができる。また綿棒を球の半径（直径）と考えると、空間充填の関係が見て取れる。これはトーラス多面体においても同様である。

■２■さて５つ穴のトーラス多面体だが、これには図で示したように２つのパターンが考えられる。内部まで見える綿棒多面体だと、表面が正３角形と正方形（正４面体の１面及び正８面体の１／２断面に由来する）からなっていることが見にくいので、図では表面の正３角形と正方形を緑と赤で示してある。

■３■図の下に中心穴環・最上部（最下部）環・最外環に相当する線部をそれぞれ赤・青・緑で示しておいた。本数はどちらも５・10・15本だが、中心穴の周辺が正方形だと３つの円環部の形が＜正５角形・正10角形・切頭正５角形＞となり、正３角形だと＜正５角形・正５角形・切頭正５角形＞となっている。

■４■この２つのパターンを組み合わせると、中心穴が正10角形の多面体トーラスとなる。それぞれの内部構造や面・点・線の要素の数などのデータはまた別に示すとして、右手と左手の５本ずつの指と、それを合わせた10進法との対応や、中心に入る正20面体との反転の関係などを見取ることもできるだろう。

■５■この２つの対になった多面体トーラスを２つの対になった正４面体と、その相貫体であるケプラーの星型８面体と同型対応視できるならば、理系好きの人は正６面体と正８面体と正８−６相貫体、及び正12面体と正20面体と正20−12相貫体とも見、文系好きの人は男と女とその理想的結合とも捉えられよう。

　　　

■６■実は東北に旅をしたり桜にうつつを抜かしている間に、トーラス多面体のうちの中心穴が正６角形のものと正方形のものが自壊してしまっていた。こうなったらもう再構築するのは不可能に近い。せめてこの綿棒のがれきに今一度命を吹き込むべく、一部をリサイクルしてせめて思考のための種にしたい。

　　　

■７■バラけた綿棒30本を使って、まず正20面体を作ってみた。そしてその正20面体の点−点の回転対称軸の１本を中心にして反転させてみた。曲率を変えて球に内接する多面体をトーラスに内接するトーラス多面体にするといことだが、図右のように上下の正５角錐部分が中心向きになった形になるのである。

　　　

■８■この２つの立体を真上から見ると、全く同じ（図で少しずれているのはアングルのせい）で区別がつかないが、真横方面から見ると上下の正５角錐部分がひっくり返って接続しているのが見て取れるだろう。また正５角柱ではなく反５角柱なので頂点部分がわずかにオーバーロードして交差している。

　　　

■９■正５角柱は上下の面が正５角形で、横の５面が正方形の形であることは分かるが、反５角柱とはどんな立体なのか？と思う人もいるだろう。上下の面が正５角形なのは同じだが、側面が交互に組み合わさった10枚の正３角形からなっている立体のことだ。横から見ると高さが異なっているのが見て取れよう。

　　　

■10■また正５角柱は単なる５角柱ではなく全ての辺が同じ長さの立体だが、ピラミッド型の１／２正８面体がその頂点部分を１点に重ねた立体と、正20面体の上下の部分でもある正５角錐が上下に合わせた立体でもあることが見て取れる。なお正20面体の上下の正５角錐を取りはらった立体は反５角柱である。

2012.04.15 Sunday