#035 穴が正多角形のトーラス多面体日和
■１■実際に作ってみなければ分からないことは多々ある。穴の大きさと形の異なる幾つかのトーラス多面体もまた、製作してみて初めて分かることばかりだ。基本的に私たちは３次元空間内における多面体同士の接続や角度の組み合わせに関しては、実際にその目で確認せずに想像しようとしても叶わない。
■２■私たちの平衡感覚を司る三半規管自体が３軸直交の構造なので、直角同士の組み合わせならばイメージすることができる。しかし正３角形の頂角である60度を２つ合成した120度ですらも、２次元平面に投影した円周360度の１／３であることは分かっても、直角＋60度の150度になるともうすでに覚束ない。
■３■実際に綿棒で多面体を作ると、製作過程で特殊な角度や構造を見て取れる。しかし完成後の立体の中に再び全て見えるかというとそうではない。穴が正３角形と正方形のトーラス多面体を製作した後、正５角形穴の多面体を作る時バラして流用したら、正３角形穴の多面体のことを忘れてしまっていた。
■４■製作した自分自身ですらそうなのだから、製作過程や完成後に分かったことなどを他者に伝えようとしてもそれはかなり難しい。取りあえず理解したことの一部なりと、後で自分が想起できるようにという名目で画像と共に書き記して置こう。成程、このメモに関しては他者とは未来の自分のことなのだ。
■５■穴の形が正多角形であるトーラス多面体を、穴の形の小さなものから綿棒によって順次製作してみた。綿棒で製作した正４面体と正８面体は、辺長が等しいのでその正３角形面は合同であり、また正８面体と正４面体の２面角である109.5度と70.5度が、接合部で平角180度を成すので空間充填となる。
■６■最も小さな正多角形は点が３つの正３角形だが、中心穴が点１個のトーラス多面体はベクトル平衡体であると考えると、点２個の場合は綿棒という単位長の線が穴に相当すると解釈できる。その場合は２つのベクトル平衡体の中心がその中心線の端点で連結したベシカパイシス状多面体として見て取れる。
■７■ちなみに綿棒で作った立体ベシカパイシスの図はこんな感じ。自分のＨＰから引っ張って来てみた。正６角形を円に、そしてベクトル平衡体を球に対応させてみると、２つくっついたシャボン玉のように対の球体の横断面はベシカパイシス形になる。またyoutubeに上げた、立体ベシカパイシス多面体の動画も。
■８■なおこの２連のベクトル平衡体にそっくりな中心穴に相当する部分が単位長の線であるトーラス多面体は、中心線の上下が凹状の開口部であると解釈するために、２連のベクトル平衡体から上下２本の綿棒がない形状となる。綿棒だと内部が分かりやすいが面が見えないので面で表した図を添えておこう。
■９■中心穴を構成する正多角形で最小のものは３点からなる正３角形である。しかし数は３から始まるというロジックにおけるアプリオリな１と２と同様に、２次元平面である正３角形を見るとすでにそこには１点のみの点及び２点が形成する線がある。これを正１角形と正２角形に相当すると解してみよう。
■10■綿棒を組み合わせて３次元空間を最密パッキンク化（空間充填）しながらトーラス多面体を製作していくと、表面ではなく本来は見えない内部にある結節点、つまり綿棒が集まる点は、ベクトル平衡体の中心点と同様に必ず12本が集まっている。計算数値の整合性だけではなく見なければこれは分からない。
■11■中心穴が正１角形と正２角形のトーラス多面体に相当すると解したベクトル平衡体、及びベシカパイシス状に連結した半相貫のベクトル平衡体を、その中心→最上方→最外側→最下方→中心と力線（綿棒）に沿って巡ると、円環部断面（Ｗ２）を上−外−下−中と折れ曲がりつつ回転して元に戻ってくる。
■12■これを円に投影して起こすと90度ずつ回転して１，２，３，４で元に戻る４ストローク１サイクルとなっている。これは中心穴が正３角形と正方形のトーラス多面体でも同じである。この４ストロークの各結節点を横に結ぶ環は、みな中心穴の多角形と同じ多角形で、長さの比は１：２：３となっている。
■13■ところが中心穴が正５角形と正６角形のトーラス多面体になると、それまで閉じていた中心穴が開くので、円環内の結節点が相互に少しずつ回転する。結果としてそれまで綿棒４本で円環を一周できた形状が、６本を辿って元に戻る６ストローク１サイクル、円上では60度ごとに位相が変わる形に変容する。
■14■もちろんこの中心穴が正５角形と正６角形のトーラス多面体も４ストローク１サイクルで構成することができる。しかし円環部の断面が４角形であるより６角形の方が本来のトーラス断面である円に近いことが分かる。また真横から見ると、それまで３層だったものが４層構造になっていることが分かる。
2012.03.29
Thursday
  
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