#036　穴が正多角形のトーラス多面体日和-02

■１■中心の穴の形が正多角形をなすトーラス多面体の、穴部を構成する点の数が１の時、多面体として安定した構造を作る単位線数は36本であり、結節点は頂点12と中心点１の和の13である。またトーラス多面体として見て取れば、□面が４・△面が16の20面体であり、線数は32本、点数は13となっている。

　　　

■２■穴を構成する点数が２の時、中心部は単位線となる。このトーラス多面体は単位線61本からなり、結節点は20個で、□４・△32の36面を構成する。多面体としての要素は、点が16、線は25、面は□４、△８、Д８の20面体である。線数が奇数なのは、中心線が上下双方の構成要素を兼ねるからである。

■３■(a)ベクトル平衡体、(b)穴が１点のトーラス多面体、(c)穴が単位線のトーラス多面体の３者はそれぞれ良く似ている。(b)は(a)の正方形面と重心点が作る正４角錐が上下対方向に抜けて穴が開いた形である。また(b)が１単位長分だけ水平方向に平行移動してできた形が穴が単位線のトーラス多面体である。

　(a)ベクトル平衡体　　　　結節点13、単位長線36、単位面は（□６＋△８＝）14
　(b)点心トーラス多面体　結節点13、単位長線36、単位面は（□４＋△16＝）20
　(c)線心トーラス多面体　 結節点16、単位長線61、単位面は（□４＋△28＝）36

　(a)ベクトル平衡体　　　 点12、線24、面は（□６＋△８＝）14
　(b)点１トーラス多面体　点13、線32、面は（□４＋△16＝）20
　(c)点２トーラス多面体　 点16、線25、面は（□４＋△８＋Д８＝）20 (※…Дは台形を表す)

　　　

■４■中心の穴が点であるトーラス上の運動やエネルギー流動のイメージはそれとなくできるが、中心の穴に相当する部分が穴でも…でもなく線であるトーラス上の運動やエネルギー流動をイメージすることは容易いことではない。しかし今はその運動や流動について考察することなく先に進むことにしよう。

■５■中心の穴が正３角形と正方形のトーラス多面体は、正規の１つ穴空きトーラス多面体の最初と２番目の多面体だ。空間最密パッキングの要素ユニットであるベクトル平衡体の各面もまた、正３角形と正方形からなっている。またベクトル平衡体は正４面体と１／２の正８面体ユニットに分解できる。

　　　

■６■プラトン立体である正４面体と正８面体は、名前の通りそれぞれ正３角形が４面と８面からなっているが、１／２の正８面体はピラミッド型の正４角錐だから、正方形の面が１つある。基本的にトーラス多面体群の表面はみな、この正４面体の正３角形と１／２の正８面体の正方形から成り立っている。

■７■直角や直交３軸構造による空間把握に良く馴染む私たちの認識機能では、穴が正３角形のトーラス多面体より穴が正方形のトーラス多面体の方が、ぱっと見での内部構造や全体構造を把握しやすい。正８面体が結晶構造のように整然と並び、その隙間を正４面体がぴっちり埋めている構造が見て取れる。

　　　

■８■正４角形穴のトーラス多面体の穴を作る４つの結節点は、それぞれ本来12方向に伸びている線のうち２本だけが欠落している。その欠落した合計８本は、穴の形の正方形と合わせると正８面体を形成する。つまり３×３の碁盤目状に並んだ９個の正８面体から、中央の正８面体１つが抜けている形状だ。

■９■この穴の部分に正８面体を入れると、その４方に１／２の正８面体が４つ（上下を考えれば１／２の正８面体が８つだから、ちょうど正８面体４個分）収まり、隙間に正４面体を挟みこめば４角錐台（上下共に見れば４角錐台対）となる。また同様の操作を繰り返すと大きな正８面体になることが分かる。

　　　

■10■正４角形穴のトーラス多面体は、単位長線104・結節点32・全て正３角形の単位面64から構成されており、多面体としての要素は点16・線32・面16となっている。さて正３角形穴のトーラス多面体に戻らねば。こちらは単位長線72・結節点24・単位面（□12＋△24＝）36で、要素は面24・点18・線45である。

　正４角形穴のトーラス多面体　
　　　綿棒による構成要素：結節点32・単位面は全て△の64・単位長線104
　　　幾何学的多面体要素：面16・点16・線32

　正３角形穴のトーラス多面体
　　　単位長線72 ・結節点24・単位面（□12＋△24＝）36
　　　綿棒による構成要素：：結節点24・単位面（□12＋△24＝）36・単位長線72
　　　幾何学的多面体要素：面24・点18・線45

　　　

■11■なお穴になっている上下の凹みにはそれぞれ１／２のベクトル平衡体がぴったりはまり込んむ。つまり上下の凹みを合わせると、ちょうど単位長からなるベクトル平衡体の体積に等しいということだ。ちなみに正４角形穴のトーラス多面体の凹みはベクトル平衡体１つ＋正８面体１つの体積に等しい。

　　　

■12■ベクトル平衡体を中心穴が点のトーラス多面体と見る時、上下の開口部を正方形として捉えていたけれど、開口部上下が正３角形のものとして捉える事も可能である。この２種のトーラス多面体と、中心穴が正方形のトーラス多面体及び正３角形のトーラス多面体との関係も考えてみる必要があるだろう。

2012.03.30 Friday