#029　正５角形穴のトーラス多面体の要素

■１■私が今扱っているものは、正確には正多角形からなるトーラス形状の擬トーラス多面体だが、これらを称して「綿棒で製作するトーラス多面体」と表現している。説明の中抜きが激しい「トーラスとベクトル平衡体は同じものである」と言う表現もあるくらいだから、「トーラス型多面体」で通したい。

■２■正５角形穴のトーラス多面体は、ひょっとしてペンタゴン（アメリカ国防総省）に似ているかも…とふと思ったら、何やらちょっとイヤ〜な気分になった。しかし画像をしっかり調べてみたら、ペンタゴンの天井は屋根型でなくフラットだった。良しＯＫ、似てない似てない。全然似ていないから平気。

■３■綿棒を１ユニット長として、この正５角形穴のトーラス多面体の要素を考えてみよう。多面体の内部は無視して表面部分だけを数えると、綿棒は140本、接合部分は60点、そして正３角形が40と正方形が40できるので、面の総数は全部で80面となっている。つまり面は80、点は60、線は140である。

　　　

■４■この正５角形穴のトーラス多面体の結節点は、円環内部の中心にもＷ１に相当する位置に15個あるが、外部だけを考えれば全部で60個である。炭素Ｃ原子60個のみでこの安定した切頭20面体構造となっているをフラーレンのように、ナノテクレベル空間でこのトーラス構造も構成できないものだろうか。

■５■ただしこれは綿棒をユニット長とした数え方である。実際には正方形２つからなる長方形が15、正３角形３つからなる台形が10、正方形が10、そして正３角形10からなる45面体である。また点は40個、線は85本となっている。つまり数え間違いがなければこの多面体は、面が45、点が60、線が85である。

■６■他者がこの立体を製作してみるかも知れないので、このトーラス多面体の製作に用いた綿棒総数を記しておこう。このトーラスの円環内部中心にある10個の結節点には、面白いことにそれぞれ10本の綿棒が接している。ただし相互連結部分は共有部なので90本。これをくわえて全部で230本でできている。

■７■さて、これで心得きなく正６角形穴のトーラス多面体製作に着手することができる。正５角形穴と正６角形穴を並べてみることによって、新たに５と６、５芒星と６芒星、10進法と12進法、魚類・両生類の10対の脳神経と、鳥類・爬虫類・哺乳類の12対の脳神経100と120の関係などが垣間見えなかろうか。

2012.03.23 Friday