#026　正３角形穴のトーラス多面体

■１■最近はベクトル平衡体とトーラスは相似形であると表現されたりもしている。しかし実際のところそれがどのようなことを意味しているのか、またどのように対応しているのかをきっちり説明したり、自分で解明しようとトライしているサイトを、私の薄見のせいもあってほとんど見出すことができない。

■２■しかたがないので、心許ないが何とか自分で確認してみることにした。多面体が時間や大きさに関わらず静止体であるのに対し、トーラス形体は常に中心側から外側に、そしてそのまま逆側の中心へと流動するエネルギーの形体としても捉えられる。そこでトーラスを綿棒多面体で作ってみることにした。

■３■トーラスは中心に穴が空いたリング状の形体をしている。浮き輪のように内部が中空でも、ドーナツのように中身が詰まっていても、今のところは取りあえずどちらでもよいことにしよう。最小の正多角形は正３角形だ。トーラスの中心の穴を正３角形として、そこから綿棒でトーラス多面体を作ってみた。

　　　
　　　　　　　　この画像はほぼ真上からビジョン。中心穴の正３角形がわかるだろうか。

■４■中心穴部分が正３角形であり、そこから内側ではなく外側に綿棒で最小のトーラス体をつくっていってみよう。面の形は正３角形と正方形となる。ちょうどベクトル平衡体をひっくり返して作るようにつないで行くと、内部構造は正８面体の半分と正４面体で充填されたトーラス型の多面体となる。

■５■中心穴部分は正３角形なので環は綿棒３本からなる。またトーラスの最外環部分は４倍体の３角形から３つの頂点部分を切り取った形状の環は綿棒９本だ。そしてトップとダウン部分は正６角形なので綿棒は上下共に６本ずつである。この４つの綿棒環をベクトル平衡体のように綿棒でつないでみよう。

■６■３＋９＋６＋６＝24本。この表面を正３角形と正方形でつなぐと、表面は正３角形24個と正方形12個からなる32面体となる。また表面だけでは形状が保てないので、内部まで連結すると、正８面体の半分と正４面体、もしくは109.5度と70.5度の２面角によって空間を満たすことができる。

　　　
　　　上半分の凹部部を赤い綿棒で埋めてみたもの。これはベクトル平衡体の１／２でもある。

■７■表面部分で用いる綿棒は、環を成す上記の24本とそれをつなぐ32本の和の56本だ。またこれに形状を保つためさらに12本を用いて内部を補強する。結果としてこの中心穴が正３角形のトーラス多面体は全部で68本の綿棒を用いることになる。また上下の空白部分は１辺１の単位ベクトル平衡体に等しい。

■８■この中心穴が正３角形のトーラス多面体は、ベクトル平衡体を３つずらして組み合わせた構造（色の３原色の概念を３つの円を重ねて表すように正６角形を３つ組み合わせた形）から、ちょうど１辺１の単位ベクトル平衡体を２つに割って上下逆にして中心部分から取り去った形状と見ることもできる。

■９■さてこれからさらに中心穴を正方形・正５角形・正６角形…としていって、同様にトーラス多面体を試試することになる。しかしこのルールで逆に中心穴が点の場合のトーラス多面体を想定してみると、ベクトル平衡体そのものになるということに思い至った。なるほど上下正３角形が凹部分なのである。

　　　

■10■実際に多面体でトーラスを作って初めて分かることもある。下の図は自分のＨＰから製作過程の図を引っ張ってきたものだが、確かに上下の３角錐（正４面体）部分を凹部としてトーラス穴（中心は点）に見立てることができる。また同様に正方形部分を上下に向けても回転させるとトーラスになる。

■11■トーラスは多面体のように静止しているのではなく流動形体であると表現したが、中心穴が点であるトーラスを敢えて静止させると、確かにベクトル平衡体と見ることもできよう。また逆にこのベクトル平衡体を回転対称軸に沿って回転させることによってトーラス体として見ることができるのである。

■12■ただしベクトル平衡体は対称性が高いアルキメデス立体である。少なくとも正３角形−正３角形の回転対称軸は４つ、正方形?−正方形の回転対称軸は３つある。さらに線心−線心の軸が12本、点−点の軸が６本、合計で25本存在し、同時に回転しつつ反転しているトーラス体てあると捉える事もできる。

■13■一応最初の中心穴が正3角形の綿棒によるトーラス多面体をYouTubeにアップロードしてみた。外からのアップロードなので時間がかかったし、編集もしていないけれど、１枚画像ではどうしてもわからない立体感を、動画で確認することができるに違いない。興味のある人だけご覧あれ。

　　　　　

2012.03.20 Tuesday