#095　３の累乗和と365について

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■"Holocaust Numbers" By KingVitamanよりその部分。

■１■地球の１年が365日なのは偶然ではなく様々な意味を内包しているとのスタンスから、私たちの思考や計算の基本中の基本でもある「10進法」の１桁の自然数１，２，３，４，５，６，７，８，９、そして０に関して、これまでと同様に丁寧に考え数え上げて計算してみよう。

■２■正６面体を２度面点変換すると体積比27倍の正６面体になることは既に見た。また正６面体の点・線・面・胞の要素８・12・６・１はそれぞれ３次元空間を27に分割し、そのうちの１つが正６面体の内部であること、さらにその分断空間を単位長ベースに圧縮するとルービックキューブ型になることも見た。

■３■まず単位正６面体をレベル１としよう。その体積を１とすると、３×３×３のレベル２の正６面体の体積は27である。下図はレベル１〜４までを表したものである。なおレベル３，４，５，６，７，８，９…の体積は以下の通りである。

　　　　　 レベル１　体積３^０＝１
　　　　　 レベル２　体積３^３＝27
　　　　　 レベル３　体積３^６＝729
　　　 　　レベル４　体積３^９＝19683
　　　　　 レベル５　体積３¹²＝531441
　　　　　 レベル６　体積３¹⁵＝14348907
　　　　　 レベル７　体積３¹⁸＝387420489
　　　　　 レベル８　体積３²¹＝10460353203
　　　　　 レベル９　体積３²⁴＝282429536481

　　　

■４■ところで各レベルの最後の１桁を見ると、連続する５レベルごとに「１，７，９，３，１」の繰り返しであることが見て取れる。そこで連続する５つのレベルを１セットと捉えて、その内部における２つのレベルの和を考えると、レベル「１＋３」＝730、レベル「２＋４」＝19710、レベル「３＋５」＝532170となる。そしてこれらの数値はそれぞれ365のぴったり２、54、1458倍になっている。

　　　　レベル１＋レベル３＝730 　＝365×２
　　　　レベル２＋レベル４＝19710 ＝365×54
　　　　レベル３＋レベル５＝532170＝365×1458

■５■なおレベル「１＋２」＝28で13の月の暦の１か月（＝４週間）であり、「２＋３」＝756で土星会合周期378日の２倍の日数になることはすでに何度も見ているが、このレベル１〜４の総和、すなわちレベル「１＋２＋３＋４」＝20440（＝365×56）で、地球の56年である。56年は28×２（年）だから、レベル「１＋２＋３＋４」は内包するレベル「１＋２」と、「２年１日法」的ホロンの関係にある。

　　　　レベル１＋レベル２＝28（日）
　　　　レベル２＋レベル３＝756（日）＝378×２　…２土星会合周期
　　　　レベル１＋レベル２＋レベル３＋レベル４＝20440（＝365×56）…28×２（年）
■６■なお基本単位でもあるレベル１の正６面体の１辺を、１天文単位（地球の平均公転軌道半径・１AU＝1.4959810^8km）と重ねると、各レベルの立体対角線は下記のようになる。つまりレベル２は火星の公転軌道直径（3.047AU）に近似し、レベル３は木星の公転軌道半径（5.2026AU）に近似し、レベル４は土星の公転軌道半径（9.5549AU）に近似しているのである。

　　　　レベル１の立体対角線は√３＝1.732…
　　　　レベル２の立体対角線は３ 　　火星公転軌道直径（3.0473AU）に近似。
　　　　レベル３の立体対角線は３√３＝5.196…木星公転軌道半径(5.2026AU)に近似。
　　　　レベル４の立体対角線は９　　 土星公転軌道半径（9.5549AU）に近似。

　　　

■７■さてここで３と言う数の０乗〜５乗までの累乗の和が、13か月×28日の364日になっていたことを思い出そう。つまり３^0＋３^1＋３^2＋３^3＋３^4＋３^5＝１＋３＋９＋27＋81＋243＝13×28＝364ということだが、この横に同じく３の６〜12乗までを添えると下のようになる。

　　　　　３^０＝１ --------３^６＝729 　 ⇒和は730で　　365×２
　　　　　３^１＝３ --------３^７＝2187 　⇒和は2190で 　365×６
　　　　　３^２＝９ --------３^８＝6561 　⇒和は6570で 　365×18
　　　　　３^３＝27 --------３^９＝19683　⇒和は19810で　365×54
　　　　　３^４＝81 --------３¹⁰＝59049　⇒和は59130で　365×162
　　　　　３^５＝243 -------３¹¹＝177147 ⇒和は177390で 365×486
　　　　　（３^６＝729） ---３¹²＝531441 ⇒和は532170で 365×1458

■８■最後の３¹²もまた６乗下の３^6との和で、ひとつ前の３倍の数列に加わる。また以下も同じである。ところでこの２，６，18，54，162，386，1458…の数列は、以前に見たピュタゴラス音階とも関係が深いプラトンのラムダ（すなわちΛ型に左下には２倍数列を、右下には３倍数列を連ね、その間を埋めた３角形の数の並び）の左２段目の２から右斜め下に連なる数列でもある。

　　　　　　　　　 　 　　１
　　　　　 　　　　　 　２　３
　　　　　　　　　　　４　６　９
　　　　　　　　　　８　12　18　27
　　　　 　　　　 16　24　36　54　81
　　　 　　　　　32 48　72 108 162 243

■９■10進法の１〜９までを、１桁で最大の自然数分だけ累乗、つまり９乗すると以下のようになる。見てすぐ分かるように、各数の下１桁はみな累乗する前の元の数に等しくなっている。

　　　　　 ０^９＝０
　　　　　 １^９＝１
　　　　　 ２^９＝512
　　　　　 ３^９＝19683
　　　　　 ４^９＝262144
　　　　　 ５^９＝1953125
　　　　　 ６^９＝10077696
　　　　　 ７^９＝40353607
　　　　　 ８^９＝134217728
　　　　　 ９^９＝387420489
　　　　　 10^９＝1000000000

2011.05.26 Thursday