#208 サークルゲノム上で正４面体の中心角を描く

　　　

■半径１の円を考えてみよう。この円の中に半径１／２の円を内接させると、自明のことだがぴったり２つ収まる。またこの半径１の円と半径１／２の円の隙間には、半径１／３の円が２つすっぽりと収まる。この上下２つの半径１／３の円の間には、半径１の円と中心を共有する３つ目の半径１／３の円が入る。さらに半径１と１／２と１／３の円の隙間には、半径１／６の小円が４つはまり込む。

■さてこの半径が１／１、１／２、１／３の３つの円の中心点を結ぶと、上図左に示したように辺長比が３：４：５の直角３角形ができる。また上図右はこれを部分拡大したものだ。背景の格子を見ればこの直角３角形にすっぽり内接する円は、直径２、半径１であることが分かるだろう。なおこの円は半径１と１／２と１／３の円の間にさらにはまり込んだ、４番目の半径１／６の小円と同じ大きさである。

■ここで最初の大円を半径１から半径６単位長と置き換えてみよう。すると直径12単位の円となり、上述の比率がそのまま単位長を保持して１：２：３：４：５となる。６，８，９を導き出すのもそう難しいことではない。ところで３種類の円の中心を結んでできた辺長比が３：４：５の直角３角形だが、その面積は６、３辺の和は12、積は60である。シンプルな図形からも12−60進法的発想が生じることが分かる。

　　　
■さてこのサークルゲノムと名が付いている、隙間に順次円を内接していく図形から、正４面体の中心角を描きだしてみよう。半径１／３の円（直径単位長４の円）の接点から、図のようにこの３つの小円を貫く線に対する垂線を引く。そして円と交差した点と大円の中心点を結ぶと、図のように正４面体の中心角09度28分16秒に相当する角度が描ける。このようにしてプラトン立体でも重要な角度は、三角数のarcos(-1/3)でも求められるが、計算をせず分度器も用いずに、コンパスと定規だけでこの作図できる。

■正８面体の２面角でもあるこの角度は、メタンの中心のある炭素原子と４つの正４面体の頂点の位置にある水素原子を結ぶ腕の角度でもある。なお４番目に隙間に内接する小さな円の半径は１／６だったが、一般にこの後も順次隙間に円は収まりゆく。半径比１／２の円を１番目として、順次円の隙間に内接していく円の、ｎ番目に内接する円の総数ｒは、ｒ＝１／｛２＋(ｎ−１)^2｝という式で求められる。

■ちなみに20番目の円の直径は、大円の直径の１／363となる。つまりこの大円の直径の上に20番目の円が363個並ぶということである。この大円も１つとして足すと、364個になる。この20進法のマヤ的な数理や28×13＝364もしくは１年の52週の日数の364日をも連想させる。この他にもさまざまな数を見出していきたいが、今日はこれくらいにしておきたい。 オマケとして、このブログを書く元になったTwitterへの数の繰り言をオマケとして付け足しておく。

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■「地球暦／ヘリオコンパス」上で秋分の日からちょうど100度が元旦であることを発見した。今年の秋分の日も冬至も満月だったが、正月前に気付いてよかった。いやそもそもは109.5度に関して、改めて考えていた副産物なのだが、話のキモは、この角度の数値「109.5」と、太陽と地球との関係における２つの数値の相似なのである。太陽直径上に地球は約109.5個並び、また地球と太陽の間の距離（特に遠日点距離）には、太陽が約109.5個並ぶ距離であるということだ。

■太陽の直径は1392000kmであり、地球の直径は12742kmである。したがって単純計算では太陽の直径上に地球が109.245個並ぶということだ。また地球の平均公転半径、つまり１AU（天文単位）は 149,597,870 kmだが、遠日点距離は152141033.8km (＝1.017 AU)で、この地球−太陽間の最大距離には太陽が109.2967個並ぶ。この地球と太陽の関係に見る２つの数値は、正４面体の中心角109.5度を想起させる。

■正４面体の中心角は直角90度に19.5度を加えた109.5度であり、同じく正４面体の２面角は直角から19.5度引いた70.5度である。この２つの角度はあるプラトン立体の、いや多面体そのものの基本中の基本の角度である。バレーのスパイクやサッカーのキックや陸上選手の走りなど、人間の身体や四肢の動作を始める直前の力を溜める角度もまたこの角度に近い。果たして何らかの関係があるのであろうか。

2010.11.25 Saturday