#198 コッホ曲線とベシカパイシス

■３と４を元にした最もシンプルなフラクタル図形に「コッホ曲線」というものがある。作図法は線分を３等分して、その真ん中の部分を２倍にして60度立ち上げるというだけの簡単な操作だ。結果として最初の４／３の長さになるのだが、分割された各線分にこの操作をどこまでも繰り返す事で得られる図形のことだ。

■再帰処理を繰り返しても自己相似図形は小さくなっていくばかり。何度か繰り返すうちに細部が見えなくなり、この長さは途中から目の前の図形からいつの間にか頭の中の概念へと移ってしまっている。数学的に計算すれば、発散して無限大になってしまう。長さがなくなってしまうと表現した方がいいかも知れない。フラクタル次元はlog４／log３＝1.26186…次元である。

■自己言及・自己相関。繰り返しで自己相似図形が増殖するという意味では一意で自己言及でもあるのだが、自己言及による分割はどんどん小さくなっていく。自己言及は不完全であるということまで読みとるのは拡大解釈に過ぎないだろうが、３から４への操作（正確には１を４／３にという操作だが）を繰り返すだけで無限大になるということだ。

　　　

■「コッホ雪片」というものも見てみよう。正３角形の３辺それぞれをコッホ曲線にして行く操作を考えてみよう。第１段階で向きが逆の正３角形の自己相関の図形になる。つまり真ん中に正６角形部分がない６芒星の形になるのだ。最初は体積も４／３となっている。この操作を無限にを繰り返すと、周囲の長さが無限になるのに、計算ではコッホ雪片の面積は1.6になるのだ。

■表現を変えれば周囲の長さが発散するのに、内部の面積は収束するということだ。個人的には奇妙な図形であるとか、不思議な世界だというコメントで終わりにするつもりはない。個人的には無限と排中律には常に不信感を持っている。使いようによっては有益であることは認めるが、安易な乱用はそれこそ誤用に限りなく近い。

　　　
■コッホ曲線をベシカパイシスに重ねると上図左のようになる。この各円を半径１の単位円とすると、上図左のコッホ曲線の長さは最初の直線３から４となる。この４を対円を貫く直径の形に伸ばしたものが上図右である。３分割して４倍する操作は中国の三分損益法やピュタゴラス音階の作り方にも似ている。このフラクタル化する構造を順次高速成長くする尺取虫のように伸長させても長さは変わらない。

■なおコッホ曲線は３と４の関係と表現したが、その真ん中にある１／３の部分を新たなる１とすると、ベシカパイシスの中心部と重ねた図に示したように、１と２の関係でもある。このベシカパイシス上の曲がった４を伸ばして対円の直径を貫く直線として示したのが下図右である。３単位長がコッホ曲線の４単位長となることを示した。一番下の折線はこれをホロニックに表したもので、同じ４単位長である

　　　

■ここであえてベシカパイシスに乗せて高速成長くする尺取虫に喩えて図示したのは、コッホ曲線が細分化する一方の自己相似図形を再帰的に繰り返すだけなのに対して、対円をベシカパイシスに変形させて貫通直径として４→３とする可逆的操作も普通に考えられるからである。つまり正３角形自体をコッホ曲線の部分と考えたり、普通の線分をコッホ曲線の部分としても見て取れるのである。

■つまり最初の線分自体がコッホ曲線の部分であり、かつそれは双方向に展開されていると考えることによって、眼前のコッホく曲線化とその逆化とが「３⇔４」の現場であるということ、双方向性を同時に見ることによって３＋１＝４だけでなく、４−１＝３及び３＋４＝７、３×４＝12、４／３及び３／４もそこに見ることができるのである。ベシカパイシスの中に最初から４が存在するとも考えられよう。

■さらに言えば、ベシカパイシスの内部には√１＝１、√２、√３、√４＝２、√５という虚数ペンターブが見て取れるばかりでなく、１、２、３、４という実数のペンターブも見て取れるということだ。なおこのコッホ曲線のフラクタル次元であるlog４／log３＝1.26186…次元が１＋φ^2／10＝12.618034…に近似しているということも興味深いことである。

2010.11.29 Monday