#184 プラトン立体とケプラー・ポアンソ立体

■プラトン立体、すなわち全ての面が同一の正多角形で構成され、かつ全ての頂点に集まる面の数が等しい多面体は正４面体・正６面体・正８面体・正12面体・正20面体の５種類しかなかった。しかしケプラーは正12面体と正20面体の辺を星型化することにより、1619年に小星型12面体と大星型12面体の２つを発見した。またほぼ２世紀後の1809年に、ポアンソがその双対立体である大12面体と大20面体の２つを発見した（※）。この４立体をまとめてケプラー・ポアンソ立体と呼ぶ。

■プラトン立体とケプラー・ポアンソ立体の最大の違いは、前者が凸多面体であるのに対し後者は凹多面体であるということだ。なお正12面体と正20面体及び４つのケプラー・ポアンソ立体は、みな黄金比を生む５重回転対称性を持つ。なおここでこの対称性の美しさを持つ９立体を、10進法の１〜５まで及び６〜９までの数と対応させてみることは、際立って恣意的に過ぎるというよりむしろ自然な発想ではなかろうか。またこの場合の数字の「０」に当たるものは球体を据えて良いだろう。

　　　

■プラトン立体の定義の「全ての面が同一」を緩めて、面が同一ではなく複数の正多角形でも良い凸多面体であるアルキメデス立体は13種類あった。これらの双対立体であるカタラン立体も13種類あるので、合わせると26種類になる。また全ての面が正３角形の凸多面体のデルタ多面体は全部で８種類あるが、そのうちの３種はプラトン立体でもある。さらに面が全て同一の菱形のみで構成されている立体である等面菱形多面体は４種類存在する。星型多面体などはここでは言及しない。

■ジョンソン立体（ザルガラー多面体）とは、全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体のうちでプラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデスの角柱・アルキメデスの反角柱以外のことを言う。全てをここで図示することはできないが、これらは全部で92種類ある。92という数をそのまま自然界に存在する最後の元素ウランの原子番号や、正４面体を除く４つのプラトン立体の面と点の総和である92に結びつける余地も余裕もはないが、興味ある数であることに違いはない。

　　　

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（※）1811年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーが星型正多面体は全部でこの４種類しかないことが証明された。

2010.10.13 Wednesday