#185 トポロジカルな太陽系

■以前に、アステロイド及びカイパーベルト領域も含めて、太陽系の惑星軌道を８ではなく10とする捉え方を示した。この各軌道に対応させた１〜10の各数を２乗してその総和を見たのだが、これらの数値から５だけを特別扱いすることで、その総和から260と365を導き出した。太陽系の４つの内惑星と４つの外惑星をシンプルに内と外に分けてもその対称性が見て取れるが、これらを両手を用いた様々な印契のように組み合わせても、そこにはまた新たな対称性を見出すことができる。

　　　

■ここでも今新たに１〜９までの各惑星軌道と軌道長半径の関係を見てみることにしよう。先ず５を除外した１〜９までの数を奇数番号<１、３、７、９>のグループと偶数番号の<２、４、６、８>のグループに分けてみよう。つまり<水星・地球・土星・海王星>と<金星・火星・木星・天王星>のグループである。シンプルにそれらの番号を足すと共に20になる。しかし驚きなのはここに実際に各惑星の軌道長半径を入れて掛け合わせても、やはりどちらもほぼ同じ数値になるということだ。すなわち<水星×地球×土星×海王星>＝<金星×火星×木星×天王星>になるのである。

　　　

■上図は実際の距離や惑星の大きさではなくその関係性をトポロジカルに表したものだが、これを踏まえて上の関係が本当に成り立っているのか実際に確かめてみよう。有効桁数を小数点以下４桁、軌道長半径の単位は天文単位（AU）として計算しよう。まず水星・地球・土星・海王星の軌道長半径の積は111.3694AUとなる。一方金星・火星・木星・天王星の軌道長半径の積は110.1948AUである。誤差わずか1.05％なので、これはほとんど同じであると見てかまわない数値であろう。

　　　

■ところで計算をしているとさらに別のパターンがあることに気がつく。最初の図の上側で示した最も内側と最も外側から順次２惑星ずつペアにしていく関係と、１つ飛ばして結んだ２惑星ずつの関係とを示す弧を辿りながら、以下のような数値を確認してみよう。ここにも美しい比の関係があることが分かる。なおその下の式は同じ式に惑星軌道番号自体を当てはめ、微分積分的に掛け算を足し算に、割り算を引き算に直してみたものだ。全体構造における位置も重要であることが分かる。

（水星×海王星）／（金星×天王星）＝11.6557／13.9007 ＝0.8350　　逆数は1.1926
（地球×土星）　／（水星×海王星）＝9.5549／11.6557　＝0.8198　　逆数は1.2199
（火星×木星）　／（地球×土星）　＝7.9272／9.5549 　＝0.8294　　逆数は1.2053
（水星×地球）／（金星×火星）　　＝0.3871／1.1021　 ＝0.3453　　逆数は2.8959
（木星×天王星）／（土星×海王星）＝99.9862／287.7019＝0.3475　　逆数2.8774

（１＋９）−（２＋８）＝０　　
（３＋７）−（１＋９）＝０
（４＋６）−（３＋７）＝０
（１＋３）−（２＋４）＝−２
（６＋８）−（７＋９）＝−２

■この絶妙な関係はAlex Geddesの発見した不思議なパターンである (※1）。

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（※１）『星たちのダンス』ジョン・マルティノー著青木薫訳ランダムハウス講談社より。

2010.10.17 Sunday