#180 １,２,３,４の諸和を無限大まで伸ばす

■１，２，３，４をそのまま足すと１＋２＋３＋４＝10となる。10進法と重なるので居心地が良い。ギリシア人が言うテトラクティスというやつだ。このようにどんどん数をっ満たして行く数を日本語では「３角数」と言う。古い言葉では「俵積み数」とも言う。音階で言う振動数比が１：２、２：３、３：４の比であるオクターブ、５度、４度の関係が、そのまま数として目に見えるので分かり易い。ではこの自然数をどこまでも足し続けていくとどうなるだろう？

　　　　　１＋２＋３＋４＝10
　　　　　１＋２＋３＋４…　→∞

■無限大という言葉も概念も知らない子供ならば、この「∞」の記号が数であるか否かなどという疑問も持たないが、大人であれば、数学的な定義ではなくても、この印のおおよその意味は分かるだろう。もちろん「∞」は数ではない。「→∞」と書いて、「無限大に向かう」と言い表す。ものごとには何事にも逆がある。１，２，３，４…に対して１／１＋１／２＋１／３＋１／４…を逆数という。ではこの逆数をどこまでも足し続けていくとどうなるだろう？

　　　　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＝25／12
　　　　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４…　　→∞

■これもまたやはり無限大に向かう。それでは次に細胞分裂のように倍々になる数を考えよう。細胞分裂は無限に繰り返しはしないが、話の展開上際限なしと考えればこれら「１，２，４，８，…」の総和もまた無限大に向かう。ではここでこの数列の逆数の総和はどうであろう？これは「１／１＋１／２＋１／４＋１／８…」と表現されるが、倍々は２の累乗だから「１／２^０＋１／２^１＋１／２^２＋１／２^３…」と書いても同じことである。これは２に収束する。

　　　　　１＋２＋４＋８＝15
　　　　　１＋２＋４＋８…　→∞
　　　　　１／１＋１／２＋１／４＋１／８…　→２
　　　　　１／２^０＋１／２^１＋１／２^２＋１／２^３…　→２

　　　

■さてでは１＋（１×２）＋（１×２×３）＋（１×２×３×４）を考えてみよう。答は１＋２＋６＋24＝33となる。これは１！＋２！＋３！＋４！＝33とも表すことができる。この<！>（イクスクラメーションマーク）は「階乗」を表す。かつて漫画家の大島弓子はこの感嘆符を作品の中で「ビックラゲーションマーク」と呼んでいたことがあったが、実際にｎ！でｎ が大きくなるにつれて驚くほど大きな数になるので<！>が階乗に使われるようになったらしい。

■この「１！＋２！＋３！＋４！…」も限りなく加算していけば無限大に向かうことはすぐに予測できよう。それではこの数列の逆数の総和を考えてみよう。この「１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！…」もまた無限大に向かうのだろうか？実はこれは1.718281828459045235360287471352…に収束する。これに１もしくは１／０！を加えると、驚くことに2.718281828…つまり自然対数の底、もしくはｅとして表されるネイピア数となるのである。

　　　　　１！＋２！＋３！＋４！＝33
　　　　　１！＋２！＋３！＋４！…　→∞
　　　　　１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！…　→ｅ
　　　　　　　　　　　　　（e＝2.718281828459045235360287471352…）

■もう少しだけ足を先に運んで、それぞれの２乗の和を考えてみよう。これはいわゆるピラミッド数だが、１^２＋２^２＋３^２＋４^２は１＋４＋９＋16＝30となる。これもどこまでも足し続けると、もちろん無限大に向かうだろう。それではこの逆数の総和を考えてみよう。この１／１^２＋１／２^２＋１／３^２＋１／４^２…が驚くべきことにπ^２／６（＝1.644934-67…）に収束する。このことを最初に証明したのは、あの天才レオンハルト・オイラーだった。

　　　　　１^２＋２^２＋３^２＋４^２＝30
　　　　　１／１^２＋１／２^２＋１／３^２＋１／４^２…　→π^２／６

　　　

■整数をただ少しずつ操作しながどこまでも加算していくだけで、ネイピア数ｅや円周率πが出現するということは、級数というものも含め実に不思議である。それだからこそその最初である１，２，３，４…という数のしっかりした定義とその証明を新しく確立確定していかなくてはならないのである。

2010.09.17 Friday