#175 フュンク・ウレ数列の補足

■フュンク・ウレの数列は初期設定の２項である初項と第２項も数に入れたままの通常の項数で言えば、第12項が1000であり、その前後方向に対の形でφと１／φの累乗の1000倍の近似値となっていた。第12項を対称界面として自らを２重に捉えて和し、以降、第13項と第11項の差、第14項と第10項の和、第15項と第９項の差…と和と差を交互に見て行くと以下のようになる。なお第24項以降と第０項お及び負の項数を想定してさらに先まで数値を求めることができる。

　　　第12項＋第12項＝1000＋1000＝２000
　　　第13項−第11項＝1618−618 ＝１000
　　　第14項＋第10項＝2618＋382 ＝３000
　　　第15項−第９項＝4236−236 ＝４000
　　　第16項＋第８項＝6854＋146 ＝７000
　　　第17項−第７項＝11090−90 ＝11000
　　　第18項＋第６項＝17944＋56 ＝18000
　　　第19項−第５項＝29034−34 ＝29000
　　　第20項＋第４項＝46978＋22 ＝47000
　　　第21項−第３項＝76012−12 ＝76000
　　　第22項＋第２項＝122990＋10=123000
　　　第23項−第１項＝199002−２=199000
　　　---------------------------------
　　　第24項＋第０項＝321992＋８＝　322000
　　　第25項−第-1項＝520994-(-６)＝521000
　　　第26項＋第-2項＝842986＋14＝　843000
　　　第27項−第-3項＝1363980-(-20)=1364000
　　　第28項＋第-4項＝2206966＋34＝ 2207000
　　　第27項−第-5項＝3570946-(-54)=3571000
　　　　　　（以下略）

■また黄金比φとその逆数１／φのｎ乗を同様に足したり引いたりする値は以下のようになる。これはもちろん上述のフュンク・ウレ数列の第12項を中心として前後方向に延びるそれぞれの項同士の和及び差の１／1000の値である。またこの数列は初項２第２項１のフィボナッチ数列と同じ文法を持つ「リュカ数」も数列である。それぞれ12項の和及び差の値を超えて、さらに先にもその形を伸ばして数値を求められることを、さらに先まで示してある。

　　　φ^０＋１／φ^０＝２　(＝１＋１）
　　　φ^１−１／φ^１＝１　(＝φ−１／φ)
　　　φ^２＋１／φ^２＝３
　　　φ^３−１／φ^３＝４
　　　φ^４＋１／φ^４＝７
　　　φ^５−１／φ^５＝11
　　　φ^６＋１／φ^６＝18
　　　φ^７−１／φ^７＝29
　　　φ^８＋１／φ^８＝47
　　　φ^９−１／φ^９＝76
　　　φ¹⁰＋１／φ¹⁰＝123
　　　φ¹¹−１／φ¹¹＝199
　　　----------------------
　　　φ¹²＋１／φ¹²＝322
　　　φ¹³−１／φ¹³＝521
　　　φ¹⁴＋１／φ¹⁴＝843
　　　φ¹⁵−１／φ¹⁵＝1364
　　　φ¹⁶＋１／φ¹⁶＝2207
　　　φ¹⁷−１／φ¹⁷＝3571
　　　　　　（以下略）

■前回はフィボナッチ数列の初項と第２項を別枠としてここに自己他者問題を見たが、このフュンク・ウレ数列の第12項を反転界面とした対の値、及び黄金比φとその逆数の対もまたひとつの自己他者問題のように捉えることができるかもしれない。

2010.09.10 Friday