#162 ヨナ抜き音階と正多面体の体積比

■長音階の第４音と第７音を省いた音階を五音音階（ペンタトニックスケール）という。これは基準の音から完全５度ずつ上の音を５種類並べた音階でもある。Ｃの長音階から第４音と第７音（ＦとＢ）を取り去ると、「完全１度、長２度、長３度、短３度、完全４度、完全５度、長６度、短６度、短７度」が残る。結果として音程上半音関係にあるものと増音程と減音程がないものとなる。

■第４音と第７音を省くことで唯一の増音程（ＦとＢ）と減音程（ＢとＦ）がなくなり、半音（Ｅ-Ｆ、Ｂ-Ｃ）もなくなる。第５音を主音とする和音がなくなるが、落ち着いた音階になる。近代以降の日本固有の音階も西洋音楽の長音階に当てはめれば五音音階であり、第４音と第７音がないのでヨナ抜き音階（四七抜き音階）と呼ぶ。雅楽の「呂旋法」がまさにこれに相当する（※）。

　　　

■さて厳密にはもう少し説明が必要だが、今回は正多面体の体積比の整数列系で、４と７に対応する立体がないこととの相似を見ていくことにしたい。すでに何度か見たが、正８面体を基本の１として、これをマクロ方向に面点変換した正６面体の体積比は６となる。この正６面体と外接球を共有する正４面体の体積比は２、その正４面体の自己相貫体（ケプラーの星型８面体）は３。

■そして４に対応する立体は見当たらず、正６面体の中接球が外接球になるベクトル平衡体の体積比は５となる。この正６面体と中接球を共有する正８面体の体積比は８であり、この２立体の相貫体である正８−６面相貫体の体積比は９となる。またこの相貫体の頂点をつないだ立体である菱形12面体の体積比は12となっている。そして７に対応する立体もまた見当たらないのである。

　　　

■ここには数字以外に同型対応するものがないように見えるが、異なるものの間に数的対応が見え隠れする場合は、その対応の仕方に美しさの有無を見極める必要がある。なお坂本九の歌う「上を向いて歩こう」、太田裕美の「木綿のハンカチーフ」、谷村新司の「昴」その他、J-POPの中にもヨナ抜き長音階の曲は少なくないが、これと多面体と関係があるとしたら楽しくはないだろうか。

----------------------------------------

（※）同様にニロ抜き音階は「二六抜き音階」とも表記し、ニロ抜き短音階を西洋音楽の短音階に当てはめたときに主音（ラ）から２つ目のシと、６つ目のファがない音階のことである。俗楽の「陽旋法」がこれに当たる。ヨナ抜き音階とニロ抜き音階には以下のものがある。

音階名 　　　　　　音階 　　　　　　　　　　備考
ヨナ抜き長音階 　C, D, E, G, A, C　 呂音階と同じ
ヨナ抜き短音階　 A, B, C, E, F, A 　陰音階の主音をAに変更
ニロ抜き短音階　 D, F, G, A, C, D　 陽音階と同じ
ニロ抜き長音階　 C, E, F, G, B, C　 琉球音階と同じ

2010.08.24 Tuesday