#147 正５角形を正５角錐に立ち上げる

■火と水に比して、半径１の円に内接する正５角形と正６角形を見た。正６角形は正３角形６面でそのまま平面となるが、正５角形は頂角が72度、残る２角が54度の２等辺３角形が５面で平面になっている。この２等辺３角形の等しい２辺は円の半径１に等しいが、残る底辺の長さも１としてこれを正３角形化させて、正３角形５枚が円に収まるような形を想定したらどうなるだろう。

■もしくは１辺１の正３角形６枚からなる正６角形から正３角形を１つ取り外し、そのまま５角形にするということだ。そうすると中心点の周囲の角度は300度となり、平面上の360度を保てなくなるので持ち上がって正５角錐となる。底辺の正５角形の外接円は正６角形の外接円より少し小さくなる。ではこの正５角錐を稜線に沿って１／５の３角錐として切りだして、その切り口を見てみよう。

　　　

■正５角錐の高さは１辺を１とした場合√｛（10−２√５）／５｝×１／２だから、0.525731112となる。また断面の直角３角形の底辺を求めると、√（１−0.525731112^２）だから、0.850650808となる。つまりこの正５角錐の底面の正５角錐が外接する円の半径は0.850650808なので、最初の正６角形の外接円半径と比べるとおおよそ１：0.85≒20：17ということになる。

■以前綿棒でバッキーボールを製作した時、内部にこの正５角錐を上下方向に２つ合わせた形状のデルタ10面体構造ができたのだが、このデルタ10面体の５重回転対称軸に重なる中心軸部分に綿棒を１本入れて製作していた。この垂直軸部分は、0.525731112の倍の1.051462224となる。この端数部分の0.05…ほどが実際は余るのだが、綿棒の綿部分でうまく吸収しつつ制作していたことが分かる。

　　　

■さらによく見ると、このデルタ10面体から切り出した上の３角錐の垂線と底辺は黄金比になっていることが分かる。ついでなのでこの正５角錐の体積を求めてみよう。底辺は１辺が１だから（５／４）cot（π／５）＝√（25＋10√５）／４＝1.720477401。これに0.52731112／３を掛けると0.301502832となり、ほぼ0.3となることが分かる。また１辺１のデルタ10面体の体積は0.6030005664である。

■さらに１辺１の正20面体の体積は５（３＋√５）／12＝2.181694991だから、これから１辺１のデルタ10面体の体積を引くと、1.578694425となる。これはすなわち１辺１の反５角柱の体積でもある。なおこの反角柱部分とデルタ10面体の体積比は、１：１／φ^２になっている。

2010.07.31 Saturday