#146 円周率πと黄金比φと１の関係と誤差

■昨日は５π≒６φ^２と表現している円周率πと黄金比φ（の２乗）の関係、及びその微細なる誤差を円に内接する正６角形と正５角形と重ねて見たが、この５π≒６φ^２という式は１≒５π／６φ^２もしくは分母分子を入れ替えて１≒６φ^２／５πとも書き表すことができる。普段は差異がほんのわずかなので等号で表わしたりもするが、ここで改めてその差異を確認してみよう。

　　　１≒６φ^２／５π＝１＋0.0000153211811294438540391539833…
　　　１≒５π／６φ^２＝１−0.0000153209463944490701852055693…

■ここでどちらの式も乗数点以下８桁までに丸めると１±0.00001532となる。昨日は６φ^２−５π≒0.00024という数値で誤差を見たが、取りあえず今日は誤差をこの数値で考えることにしたい。昨日はその差異を円周上の角度差で見たが、こちらの数値で１を地球の１年365.242191日に対応させると8.057535分…すなわちほぼ８分ということになる。

■８分は１日（24時間×60分＝）1440分の１／180である。また太陽が地平線に頭出してから完全に離れるまで、もしくは太陽が地平線に接してから完全に沈み終えるまでの時間はほぼぴったり２分、つまり地球の１年に対して、地上から見て太陽円盤が天空を４個分移動するだけの時間に相当するということだ。バビロニア起源の昔の表現で言えば、この間に人間は４スタディオン歩く。

　　　

■このスタディオンという距離の単位は、地平線から太陽が出現してから地平線を離れるまでの間に人間が太陽に向かって歩く距離はだいたい180ｍ前後だから、720ｍほどということだ。（ちなみにバビロニア、エジプト、ギリシアのスタディオンはそれぞれ184ｍ、179ｍ、185ｍに対応する）太陽円盤の視直径は0.5度だから１日の間に太陽はちょうどその太陽円盤の視直径の720個分移動して元に戻ることになる。

■これだけでは単なる偶然としか見えないだろうが、私たちの意識とπやφや自然数などから世界が創出されていると見る世界観を想定してみると、垣間見る符合として捉えることもできるのかも知れない。科学的世界観のみにとらわれず、混乱することなくそのような考え方も許容する余裕があると、世界はより豊かで美しく、しかも私たちとより密着して感じられるかもしれない。

■なお６φ^２／５πと５π／６φ^２の差は0.000000000234734994783853948414…つまり0.0000000001余りもしくは百億分の１となる。有効桁数を無視して数値をいじくり過ぎるのはあまり好きではないが、円周率πと黄金比φ、数字の５と６のふくよかな関係は他の様々なところにも浸透していることは間違いない。安易に誤認した意味を負帯させることなく健やかに数に接していきたい。

　　　６φ^２／５π−５π／６φ^２＝0.000000000234734994783853948414

2010.07.31 Saturday