#145 ５と６もしくは火と水・φとπ

■水星及び金星は地球との関係において、水星の会合周期116日にπを掛けると364.42日となり、金星の公転周期225日にφを掛けると364.06日となった。また地球と水星の自転周期及び会合周期の関係を地球公転軌道上にプロットすれば６芒星となり、また地球と金星の会合周期の関係は５芒星となった。

■５芒星と６芒星と言えば以前、漢字の火と水を対応させてその「ヒ・ミツ」を考えてみた。ところで黄金比φと円周率πの間には、５π≒６φ^２という関係がある。これは逆に言えば正５角形と正６角形（５芒星と６芒星）の関係のみならず、５と６との関係にもπとφが見て取れるということでもある。

■これを視覚的イメージとして表現したのが、同じ１つの円をπで５分割したものと、φ^２で６分割したものとがほぼ等しいということを表した上図である。角度は別として単なる円グラフとして見ても構わない。これをベシカパイシス的に交差させたり、完全に重ねたりして関係を見ることもできよう。

　　　

■しかしまずはこの５π≒６φ^２がどれだけ近似しているかを見てみよう。πはWindows７のアクセサリにある電卓機能の数値を、φ及びφ^２はこの電卓を用いて（１＋√５）／２及びその２乗で32桁まで出したものを示した。特に意味はないが、まあオーバーフロウした意気込みというか心意気である。

　　　π＝3.1415926535897932384626433832795
　　　φ＝1.6180339887498948482045868343656
　　　φ^２＝2.6180339887498948482045868343656

■この５π≒６φ^２の左辺と右辺を結ぶニアイコールはイコールとどれだけ違うのだろう。実際にこの５πと６φ^２の差異を電卓で算出してみると、以下のようになる。実のところ特別な視点でも持たない限り、0.00024あたりより下位の桁の数にはさほど意味を見いだせない。

　　　５π＝15.707963267948966192313216916398
　　　６φ^２＝15.708203932499369089227521006194
　　　６φ^２−５π＝0.0002406645504028969143040897956

■そこでこれ以降はこの差異を24／100000に丸めて考えることにしよう。360°をこの24／100000で割ると0.0864°もしくは5.184分となる。これは円周360度に対して、上図の２つの円は１度の１／12度の違いしかないということだ。実際に図で表現する時はこの差異はほぼ無視できるだろう。

　　　

■したがって実際はわずかな差異があることを完全には失念しないようにしつつ、今後は等号（＝）で５π＝６φ^２と表すことにする。なおこの式は例えば５＝６φ^２／π、６＝５π／φ^２、π＝６／５・φ^２、φ^２＝５／６・π、１＝６φ^２／５πなどと様々に変形することができる。

　　　５＝６φ^２／π 、　π＝６／５・φ^２、　６／５＝π／φ^２
　　　６＝５π／φ^２ 、　φ^２＝５／６・π、　５／６＝φ^２／π

　　　12＝10π／φ^２、 １／12＝φ^２／10π、　１／６＝φ^２／５π
　　　10＝12φ^２／のπ、 １／10＝π／12φ^２、　１／５＝π／６φ^２

■なお最後に、もう１度だけ実際の誤差は以下の通りであることを付け加えておこう。

　　　６φ^２／π＝５＋0.0000766059056472192701957699167
　　　５π／φ^２＝６−0.0000919256783666944211112334157

　　　６φ^２／５π＝１＋0.0000153211811294438540391539833
　　　５π／６φ^２＝１−0.0000153209463944490701852055693

2010.07.30 Friday