#140 正８面体の中のベクトル平衡体と正20面体…問題提示編

■単眼視座で正６面体の立体対角線の方向から見ると、正８面体も正６面体も共に正６角形の形に見える。したがってこの２者が中接球を共有した形の正８−６相貫体もまた、全く同じ正６角形に収まって見える。またこの正８−６相貫体の重畳部分であるベクトル平衡体をこの軸方向から見ると、30度回転した小さめの正６角形（√２／３倍）に見える。

■この回転対称軸と視線方向を重ねた時、正８面体の線央をつなぐとベクトル平衡体になる。この時ベクトル平衡体は正８面体の各面の中にその面の１／４の正３角形を共有する。この小さい正３角形の各頂点を大きい正３角形の辺に沿ってずらして行くと、小さい正３角形は面積を増やしながらこの軸を中心にして回転する。

■各辺に沿って回転させると、面積が最少なのは頂点が１／２すなわち線央にある時で、正８面体の１面の１／４であり、最大になるのは頂点が線の端点まで60度回転した時で、１／１となる。ところでこの頂点を線を１：φもしくは１：１／φに分割する点、すなわち黄金分割点まで回転させた時、この立体はこの正８面体に内接する正20面体となる。

　　　
　　　

■それを表したものが上図である。右側がベクトル平衡体であり、左側が正20面体である。共に最初の回転対称軸方向から眺めている図だが、正８面体の各稜線に沿って正３各形が連動しながら回転している様子が分かるだろう。上段の２つは正８面体の各面と共有している面を強調したものであり、下段はその立体の形がより分かりやすく示してある。

■なおこの視座からは正６角形の中で平面的につぶれてしまっているこのベクトル平衡体と正20面体が分かりやすいように、異なる位置から正８面体とその中にある２立体を示したのが下図である。こうして比較すると、線上を黄金分割点まで移動していくことで、ベクトル平衡体の14面のうち、正６面体由来の６面の正方形が対角線で２分割して、同じ大きさの正３角形になることが分かる。

　　　

■この線上連動して移動する小さな正３角形の各頂点を、正８面体の各頂点から見たのが下図である。正８面体の各頂点には４本の線が集まっているが、ベクトル平衡体の頂点位置では線央にあった４点が交互に黄金分割比をそこより遠くと手前に移動して、近くに移動した２点が折れ曲がって２つの正３角形となるが、これは正８面体の面の中で回転した正３角形と同じ大きさである。

　　　

■つまり正８面体由来の正３角形の８面と、正６面体由来の正方形が２分割・変形した（６×２＝12）面の合計で正20面体となっているのだ。上図右はこの関係を頂点方向から見た図である。また下図は正８面体の１つの面の中で、その頂点が線央から黄金分割点まで移動回転した正３角形を示したものである。これらのことから、数学の得意な人は以下のような問いにすんなり答を出してくれるのだろうか。

■（１）この時できるベクトル平衡体と正20面体の辺長比は？
　（２）この正８面体の１面である正３角形とその中の正20面体の正３角形の面積比は？
　（３）この正８面体と正20面体の体積比は？（正８面体とベクトル平衡体とは８：５）
　（４）このベクトル平衡体の正３角形と20面体の正３角形の回転のずれは何度？

　　　

2010.07.22 Thursday